线性代数课件第6章二次型课件.pptVIP

第6章 二次型 6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 化二次型为标准形 6.3 正定二次型 * * 本章主要介绍二次型．包括把二次型化为标准形及其二次型的正定性．通过本章的学习，读者应该掌握以下内容： 二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩 用正交变换把二次型化为标准形的方法 用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理 二次型的正定性及其判别法 合同． 6.1.1合同矩阵 定义1 设有两个 阶矩阵 ,如果存在一个可逆矩阵 使得 ,则称矩阵 与 合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型 的主要工具．合同关系具有以下性质： 性质1 与 自身合同． 性质2 若 合同,则 与 合同. 与 性质3若 合同, 与 合同,则 与 合同. 与 6.1.2二次型及其矩阵表示 定义2 含有 个变量的二次齐次函数 称为二次型． 取 则 实二次型可以写成： 则二次型可记作 记 任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型．这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系．因此，我们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型．对称矩阵 的秩就叫做二次型 的秩． 例如 可表示为 可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变． 研究矩阵的合同与实二次型理论的关系．在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述： 称为由变量 到变量 线性变换． 矩阵形式为 6.2.1用正交变换法化二次型为标准形 定义3 如果二次型 通过可逆 线性变换化成二次型 且仅含平方项．即 则称上式为二次型的标准形．一般的，二次型的标准形不惟一． 标准形所对应的矩阵为对角矩阵，即 其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的特征向量． 定理1 任给一个二次型 总存在正交变换 使 化为标准形 例2 求一个正交变换 化二次型 为标准形． 解 二次型的矩阵 所以， 的特征值为 对于 解方程 由于 同解方程组 一基础解系为 单位化得 对于 解方程 由于 同解方程组 一基础解系为 单位化得 将 正交化，得 令 则作正交变换 二次型可化为标准形 6.2.2用配方法化二次型为标准形 用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点．如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形．其中最常 用的方法是拉格朗日配方法． 例3 用配方法化二次型 化为标准形，并求所用的变换矩阵． 解先将含有 的项配方 再将后三项中含有 的项配方， 令 则 经过可逆变换 可将二次型化为标准形 定理2 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略）． 二次型的标准形不是惟一的，但标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩，）．不仅如此，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有： 定理3 (惯性定理)设二次型 它的秩为 ,有两个可逆线性变换 ,使 则 中正数的个数 中正数个数相等. 另外，我们还有如下结论： （1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵 的非零特征值的个数（重特征值按重数计算）； （2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征值按重数计算）； （3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数 减去正 特征值的个数． 二次型的标准形中正系数的