线性系统理论1课件.ppt

又 每个元多项式的最高幂均小于 。 2 G(s)的计算 （1）直接计算法 当系统矩阵A的维数较低时（n=3),可采用直接计算法。 例 已知： （2） 给定状态空间描述的系数矩阵{A，B，C，D}，求出 和 传递函数矩阵可由下式求出： 例2 给定系统的状态空间描述为 特征多项式为： 一 坐标变换的表征： 坐标变换的含义：是把系统在状态空间的一个坐标系上的表征，化为另一个坐标 系上的表征。通过坐标变换，可以突出系统的某些特性，或者简 化问题的分析计算。 坐标变换的实质：是换基，即把状态空间的一个基底换成为另一个基底。 1.6 线性系统在坐标变换下的特性 二 系统状态空间描述在坐标变换下的特性 1 给定线性定常系统的状态空间描述为： 3. 线性时变系统 2. 由(1)和(2)所给出的状态空间描述 和 ，两者具有相同的特征值 三 系统传递函数矩阵在坐标变换下的特性 结论：线性定常系统的传递函数矩阵在坐标变换下保持不变。 证明：令系统在不同坐标系下的传递函数矩阵分别为： 结论的物理含义： 当系统的输入和输出变量被确定后，不管如何选择其状态变量组，系统的输出—输入特性总是一样。也即所有代数等价的状态空间描述均具有等同的输出—输入特性。 二 算法： 算法之一：引入微分算p=d/dt，（1）式的输入—输出描述又可表示为如下形 式： 当m=n时，上式有理分式是真的，而当mn时这个有理分式是严格真的。而这两种情况的状态空间描述有着不同的形式，所以下面加以分别讨论。 （1）当mn时：将（3）式进一步改写为： 或将其表示为如下形式 选取状态变量组： 由此就可得到： 和 由 表示状态向量，即可导出对应于输入—输出描述（1）的状态空间描述为： 例：给定系统的输入—输出描述为： 利用（8）即可定出相应的一个状态空间描述为： （2）当m=n时，先将（3）中的有理分式进行严格真化，可导出： 由此可进而表为： 选取状态变量组： 对应于输入—输出描述（1）的状态空间描述为： 例：给定系统的输入—输出描述为： 利用（11）即可定出相应的一个状态空间描述为： 算法之二： 分为m=0和m=n两种情况来进行讨论。 （1）当m=0时：此时，输入—输出描述（1）可写成为： 取状态变量组为： 由此可导出： (2) 当m=n时，此时，输入—输出描述具有如下的形式： 把状态变量组取为y和u及它们的各阶导数的适当组合： 待定系数的确定： 进而得到： 例：给定系统的输入—输出描述为： 利用（17）确定出： 相应的状态空间描述为： 一 基本概念 1 特征方程、特征值 给定状态方程： 特征方程为： 其根为特征值。 一个阶数为n的系统，必有且仅有n个特征值，它们可为实数或以共轭对出现的复数。 2 特征向量 如果 成立，称一个非零向量 为矩阵A的属于特征值 的特征向量。 特征向量不是唯一的，当n个特征值两两互异时，任取n 个特征向 量 必是线性无关。 1.4 状态方程的对角线规范形和约当规范形 二 对角线规范形 结论：对系统 ，设其特征值 为两两互异，并利用它们的特征向量组成变换阵 ，那么，系统的状态方程在变换 下，必可化为如下的对角线规范形： 证：由 其中： 例：给定线性定常系统的状态方程为： 又由： 且 特征方程： 任取一组线性无关向量 特征向量的求法： 取 取 对角规范形为： 对结论的几点讨论： 1） 在对角线规范形下，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成几个独立的状态变量方程； 2） 如果系统矩阵A具有形式 且其特征值 两两不相等，则此时化状态方和为对角线规范形的变换阵可按下述方式组成 3） 当特征值 中包含复数特征值时，