线性系统理论4课件.ppt

目 录 4.1 外部稳定性和内部稳定性 ４.2 李亚普诺夫意义下运动稳定 性的 一些基本概念 4.3 李亚普诺夫第二方法的主要 定理 4.4 线性系统的状态运动稳定性 的判据 4.1 外部稳定性和内部稳定性 一 外部稳定性 1. 定义：一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u(t) , 即满足条件 ４.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的  一些基本概念 4.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 4.4 线性系统的状态运动稳定性的判据 * * 注意：讨论外部稳定，必须假定系统初始条件为零。 2 结论1：时变系统 对于零初始条件的线性时变系统， 为其脉冲响应矩阵，则系统 为BIBO 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ,使对于一切 的每一个元 均满足 关系式 必要性：利用反让法。 再考虑多输入—多输出情况 有界个有界函数之和仍为有界，利用单输入—单输出情况的结论，可证得此 结论。 3 结论2： （定常情况） 对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻 为其脉冲响应 矩阵， 为其传递函数矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件是， 存在一个有限常数 的每一个元 均满足关系式： 二 内部稳定性 1 定义：对于线性定常系统 三 内部稳定性和外部稳定性间的关系 结论１：设线性定常系统（１）是内部稳定的，则必是BIBO稳定的。 结论２：设线性定常系统（１）是BIBO稳定的，则不能保证系统必 是渐近稳定的。 结论３：如果线性定常系统（１）为能控和能观测的，则其内部稳定 性与外部稳定性必是等价的。 一 自治系统、受扰运动和平衡状态 　１．自治系统：不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统． 　　设系统的状态方程为 系统平衡状态可以为零（ ），也可不为零（ ），但对任意 总可引入一个新状态，经一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。 对线性定常系统，有 对平衡状态的几点说明: 1)平衡状态直观含义,平衡状态xe直观上为系统处于平衡时可能具有的一类状态,系统平衡的基本特征为 . 2)平衡状态的形式．平衡状态可由求解方程定出．它的形式包括状态空间中的点和线段． ３）不唯一性，自治系统的平衡状态xe一般为不唯一．定常系统平衡状态xe为方程Ａxe＝０的解，若矩阵Ａ非奇异则有唯一解xe，Ａ为奇异有无穷多个解． ４）零平衡状态．对自治系统，在大多数情况下，Ａxe＝０必为系统的一个平衡状态． ５）孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态，单个平衡状态也是孤立平衡状态。 ６）对平衡状态的约定．在李亚普诺夫直接法中，对稳定性的分析主要针对孤立平衡状态．在随后的稳定性分析中，总是把平衡状态设为状态空间原点． 3.受扰运动：定义为其自治系统由初始状态扰动x0引起的一类状态运动． 　　　实质上，受扰运动就是系统的状态零输入响应，所以称之为受扰运动，起因于稳定性分析中将非零初始状态x0看成为相对于零平衡状态即xr=0的一个状态扰动． 稳定性问题： 是指系统的状态解（常称“运动”）是否能趋于平衡状态解的问题。若系统的 状态解能回复到平衡状态，则称此系统是稳定的。如果系统的状态解虽然不 能最终回复到平衡状态，而是在平衡状态的某一邻域内呈现自激振荡，而这 种振荡又为实际系统所允许，那么也应把这种系统称之为稳定的。反之称为 不稳定的。 二 稳定性的基本定义 1 稳定（李亚普诺夫意义下的稳定） 1）定义：对于系统（2），如果给定任何一