线性系统理论第四章课件.ppt

线性系统理论 第四章 例 ：给定连续时间的定常系统： 易知， 和 为其唯一的平衡状态。 现取 为状态的一个二次型 即 为正定。 第四章 当 时， 此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 为负定。 注 ：三维空间 上，向量 ，它的长度， ，就是一种范数。 第四章 结论 3 [ 定常系统的大范围渐近稳定判别定理 ] 定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 ，并且对状态空间 中的一切非 零点 满足如下的条件： （1） 为正定。 （2） 为负半定。 （4）当 时，有 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。 放宽条件后的结论 （3）对任意 第四章 李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理 结论 1 [ 时变系统稳定的判别定理 ] 一个吸引区 ，使对一切 和一切 ，满足 对于时变系统，如果存在一个对 和 具有连续一阶偏 导数的标量函数 和围绕原点的 （1） 正定且有界； 如下的条件： （2） 为负半定且有界。 则系统原点平衡状态为 内一致稳定。 第四章 结论 2 [ 定常系统稳定的判别定理 ] 对一切 和一切 ，满足如下的条件： 对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 ，和围绕原点的一个吸引区 ，使 （1） 为正定； （2） 为负半定。 则系统原点平衡状态为 内稳定。 第四章 不稳定的判别定理 和一切 ，满足如下的条件： 结论 ：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续 一阶偏导数的标量函数 或 ， 和 判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能 为不稳定。 和围绕原点的一个吸引区 ，使对一切 第四章 （1） 正定且有界或 为正定； （2） 也为正定且有界或 也为正定。 则系统平衡状态为不稳定。 和 为同号时，系统的受扰运动轨线理 论上将发散到无穷大。 第四章 4.4 线性系统的状态运动稳定性的判据 线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。 定常、时变，给出常用判据。 线性定常系统的自由运动的稳定性判据 定性，由常量矩阵 A 所决定。 没有外输入作用存在时的线性定常自治系统： 知 为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳 第四 章 对于线性定常系统有： 结论 1：[ 特征值判据 ] 必要条件为 ：A 的所有特征值均具有非正（负或零）实部， 且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式的单根。 （1）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分 根据矩阵 A 的特征值的分布来判断系统的稳定性。 （2）系统的唯一平衡状态 是渐近稳定的充分必要 条件为，A 的所有特征值均具有负实部。 渐近稳定性 大范围一致渐近稳定。 线性定常系统 稳定 一致稳定。 第四章 其平衡状态为 例 ：给定线性定常自治系统 即，状态空间中 平面上的每一个点均为平衡状态。 其中 和 为任意数。