线性系统的稳定性分析课件.ppt

第五节 线性系统的稳定性分析 在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。 定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。 稳定与不稳定系统的示例 根据上述稳定性的定义，可以用 函数作为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲 ，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状态，即 该系统就是稳定的。 五种运动模态 *当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，则有 ，此时系统是稳定的。 *如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的， 此时 不成立，系统不稳定。 *如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则c(t)作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。 线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。 由以上讨论可知：判稳先求根。但是，对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困难。人们希望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据就是其中的一种。 系统稳定的必要条件是其特征方程 由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即 2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性) 2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性) 五阶Routh表的列写方法举例 为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。 本例中，劳斯表可按如下方法计算： 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以6，实质是不除6) 791 134 （同乘以67，不除67） 36900 （同乘以791，不除791） 134 由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。 例2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的稳定性。  s4+2s3+s2+s+1=0 解 列劳斯表如下 S4 1 1 1 S3 2 1 0 S2 (2*1-1*1)/2=1/2 (2*1－1*0)/2=1 S1 (1*1-2*2)/1=-3 S0 (-3*2-1*0)/-3=2 (2) 劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余各项不全为零 例4 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。 方法1 解： 由特征方程列出劳斯表 s4 1 2 5 s3 1 2 0 s2 0≈ε 5 s1 (2ε-5)/ε s0 5 方法2：令s=1/x代入特征方程可得到以x为变量的新的代数方程，对此方程使用劳斯判据也可判断系统的稳定性（相当于把特征方程系数的顺序倒过来）。 方法3：对原特