组合思想及数学组合化猜想课件.ppt

毛林繁 (中国科学院数学与系统科学研究院,北京100080) maolinfan@163.com 二OO六年八月, 天津 南开大学 摘 要 组合学在二十世纪得到了突飞猛进的发展，已经成长 为处理客体之间关系的一种有效工具。作为数学工作者， 一项更重要的任务是应用组合学解决其他数学或其他科学 领域中的问题而不是单纯地研究客体间的组合结构。最近 几年，国际数学界和物理学界一些研究人员在大范围地应 用组合思想对经典数学进行组合重组，应用组合思想和爱 因斯坦场方程建立新的宇宙模型-组合宇宙，探寻宇宙的创 生。本报告拟就这一过程中的采用的组合思想作一个简单 综述，同时对作者在2005年提出的数学组合化猜想做一个 介绍，以期引起国内数学界，特别是组合学界的重视。 一、组合学的地位及问题重要程度的判定 二、组合的度量化与数学组合化猜想 科学认识的基础-度量 度量是科学认识自然、建立数学模型进行数学模拟 的基础。 组合学的特点 组合学是一门无度量的学科。 组合学引入度量应用于其他学科 For applying combinatorics to other branch of mathematics, a good idea is pullback measures on combinatorial objects again, ignored by the classical combinatorics and reconstructed or make the combinatorial generalization for classical mathematics, such as, those of algebra, differential geometry, Riemann geometry, Smarandache geometries … and the mechanics, theoretical physics, …. 摘自Linfan Mao： Automorphism Groups of Maps， Surfaces and Smarandache Geometries American Research Press 2005 公理化思想 给定一门数学分支，公理化思想假定可以通过选择出有限条公理，经过逻辑推理而得到整个学科的所有结果。 公理化思想的代表：Hilbert为初等几何建立的公理体系。 主要学派：法国的布巴基学派。 数学组合化猜想 任何数学学科均可以组合化或进行组合重建。 猜想释义： （1）通过选择有限条组合规则及公设，任何一门 数学学科均可以采用组合技巧进行组合重建。 （2）原学科是该学科组合化后的特例。 （3）组合化思想可以促成不同数学学科之间的组 合，从而发现新的规律与结果。 组合地图 — 曲面组合化的一个成功范例 地图就是曲面的一种划分，使得沿着划分线 将曲面剪开后得到的每个面块均同胚于2维圆 盘。 例子：完全图K4在环面上产生的地图 曲面分类定理 每个曲面或者同胚于球面，或者同胚于球面 上挖去2p个洞，每两个洞之间采用一根管子 相连, 或者同胚于在球面上挖去q个洞，每个 洞的边界与麦比乌斯带的边界相粘合。前者 的亏格定义为p，后者为q。 曲面分类定理的代数表述 采用地图的观点，曲面分类定理对应的地图就是单点单面地图。 地图是任意图G在曲面上的嵌入—地图是曲面的组合化或组合细化。 经典数学问题的组合化：数学组合化猜想导致了组合学家对经典数学的一种组合重组的观点，在L.F.Mao: Automorphism Groups of Maps, Surfaces and Smarandache Geometries一书最后一章例举了许多这类问题。 三、组合思想对数学的贡献 代数组合化 n-重代数系统：对任意给定的整数n，设集合 Ai有运算集O(Ai）且( Ai ;O(Ai))为一个代数系 统，1≦i ≦n，则称并集 ( A1 ;O(A1))∪( A2 ;O(A2))∪…∪( An ;O(An)) 为一个n-重代数系统。 n-重群 m-重环 k-重向量空间 一个例子（n-重加法群） 设n为一个正整数。取Z1=({0,1,2,…,n-1};+) 为通常模n加法群，P=(0,1,2,…,n-1)为一个n- 置换，对任意整数i, 0≦i≦n-1 定义 Zi+1=PiZ1， 满足：若k+l=m, 则Pi (