组合数学第二讲课件.ppt

容斥原理和鸽巢原理 解　由题意，可得如下棋盘： 其中有影线的格子表示 禁区。 A B C D 1 2 3 4 R( )=1+6x+10x2+4x3 方案数=4!－6(4－1)!+10(4－2)!－4(4－3)! +0(4－4)!=4 容斥原理和鸽巢原理 §4　鸽巢原理之一 鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本 的原理，也叫抽屉原理。即 “若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有 一个巢内有至少有两个鸽子。” 例１　367人中至少有２人的生日相同。 例２　10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。 例３　参加一会议的人中至少有２人认识的别的参加者的人数相等。 容斥原理和鸽巢原理 例４　从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中，至少有一对数，其中一个是 另一个的倍数。 证　设n+1个数是 a1 , a2 , ··· , an+1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。 组成序列 r1 , r2, , ··· , rn+1。这n+1个数仍在［1 , 2n]中，且都是奇数。而[1 , 2n]中只有n个奇数 . 故必有 ri = rj = r , 则 ai = 2αi r, aj = 2αj r .若αi＞αj ，则 ai 是 aj 的倍数。 * 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理 例 求[1，20]中2或3的倍数的个数。 [解] 2的倍数是：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20. ←(10个) 3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 ← (6个) 但答案不是10+6=16 个，因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。 故答案是：16-3=13 容斥原理和鸽巢原理 容斥原理研究有限集合的交或并的计数。 [DeMorgan定理] : 设论域U，补集A的补集定义为 ,则有 (a) (b) 容斥原理和鸽巢原理 DeMogan定理的推广： 设： 容斥原理和鸽巢原理 容斥原理： 最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有 定理： U B A 容斥原理和鸽巢原理 定理： A B C U 容斥原理和鸽巢原理 例：一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？ 解：令，M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；所以有 容斥原理和鸽巢原理 即学校学生数为336人。 容斥原理和鸽巢原理 一般地，我们可得定理： 　定理：设A1,A2, …,Am均为有限集，m≥2,则 容斥原理和鸽巢原理 ，其中N是集合U的元素个数，即不属于A的元素个数等于集合的全体减去属于A的元素的个数。一般有： 容斥原理指的就是这两个式子。 容斥原理和鸽巢原理 例1 求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df图象的排列数。 解：设A为ace作为一个元素出现的排列集， B为 df作为一个元素出现的排列集， 则A∩B 为同时出现ace、df的排列数。 根据容斥原理，不出现ace和df的排列数为： =6!- (5!+4!)+3!=582 容斥原理和鸽巢原理 例2 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。 解： 令 A为从1到500的整数中被3除尽的数的集合， B为被5除尽的数的集合,则 容斥原理和鸽巢原理 例3 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中，a,b,c至少出现一次的符号串数目。 解：令A、B、C分别为n位符号串中不出现a，b，c符号的集合。 由于n位符号串中每一位都可取a，b，c，d四种符号中的一个，故不允许出现a的n位符号串的个数应是：3n。 容斥原理和鸽巢原理 a，b，c至少出现一次的n位符号串集合即为 容斥原理和鸽巢原理 §2 错排问题 n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。 设 Ai 为数 i 在第 i 位上的全体排列，i =1，2，…，n。因数字 i 不能动，因而有： 容斥原理和鸽巢原理 所以每个元素都不在原来位置的排列数为 容斥原理和鸽巢原理 例1 数1，2，…，9