自动控制第5章3课件.ppt

* * 第5章 奈奎斯特稳定判据 对数稳定判据、稳定裕度 5.3奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 图3-35 闭环系统 闭环传递函数为 为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于s平面左半平面。 虽然开环传递函数 的极点和零点可能位于s平面的右半平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于s平面的左半平面，则系统是稳定的。 充要条件 注： 5.3.1 预备知识 可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线 ，在 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 平面上的映射封闭曲线包围原点的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。 令 辅助函数 建立了 与 =0的特征根之间的联系. 其辅助方程为： 函数 在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点， 平面上必有一点与之对应。 这样，对于s平面上给定的连续轨迹，只要它不通过任何奇点，在 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 例如 图5-36 s平面上的图形在 平面上的变换或影射 上半s平面内的直线 和 在 平面上的变换 当s平面上的图形包围两个 的极点时， 的轨迹将逆时针方向包围 平面上原点两次 当s平面上的图形包围 的两个极点和两个零点， 的轨迹将不包围原点 相应的 如果这个曲线只包围一个零点，相应的 的轨迹将顺时针包围原点一次； 若封闭曲线既不包围零点又不包围极点， 的轨迹将永远不会包围 平面上的原点 。 如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)， 即包围的零点数与极点数相同，则在 平面上，相应的封闭曲线不包围 平面上的原点。 上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理基础上的。 5.3.2 影射定理 Nyquist判据依据的是复变函数中的映射定理。设有复变函数： S为复变量， 表示； F(s)为复变函数， 表示。 对于s平面上的除了有限的奇点外的任意一点s，复变函数 F(s)为解析函数。 解析函数即：单值、连续的正则函数。 对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映射点。 如果在s平面上画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。 若在s平面上的封闭曲线沿顺时针方向运动，则映射曲线运动方向可能是顺时针，也可能逆时针，取决于F(s)的特性。 不感兴趣映射曲线的形状，而是它包围原点的次数和运动方向。原因：它与系统的稳定性密切相关。 复变函数F(s)的相角可表示为： 假设在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点，而其他 零点、极点位于封闭曲线的外边，则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向运动一周时，向量 的相角变化 而其他各向量的相角变化为零。 这意味着映射曲线沿顺时针方向绕原点转动一周。 若s平面上的封闭曲线包围了F(s)的p个极点，则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一周，则映射曲线将按逆时针方向绕原点旋转p周。 推论： 映射定理： 设s平面的封闭曲线包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点，且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点P-Z周。 5.3.3 奈奎斯特稳定判椐 设系统的特征方程为： 开环传递函数： 代入特征方程得： 特征方程根 闭环极点 系统开环极点 闭环系统稳定的条件： 系统特征方程的根， F(s)的零点，都位于s平面的左半平面。 为了判断系统的稳定性，需检验F(s)是否有位于s右半平面的零点。 结论： 为了判断系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个s右半平面。这时的封闭曲线由虚轴（从 到 ）和整个右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹两部分构成的。 称封闭曲线为奈奎斯特曲线。 奈奎斯特曲线包围了整个右半平面，所以包围了 所有正实部的极点和零点。 设F(s)在s平面的右半部有z个零点和p个极点，根椐映射定理， 当s沿着s平面上的奈氏曲线顺时针运动一周，在F(s)平面上的映射曲线 按顺时针绕原点旋转N=Z-P周。 若在s平面上，s沿着奈氏曲线顺时针移动一周，在F(s)平面 上的映射曲线 绕原点逆