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第五节 模糊逻辑 1、普通逻辑 与普通集合论相对应的逻辑是二值逻辑，即数理逻辑，又指命题逻辑，研究对象为命题 它包括如何确定一个复合命题的真值和逻辑推理的一般规则这两个重要研究内容 1）命题 可明确判断其真伪的陈述句。一个命题或是真，或是假，二者必居其一 如，8是2的4倍—真；地球是方的—假 人的思维使用自然语言进行推理。自然语言易产生二义性，不适用于严密的逻辑推理，因此使用符号代替自然语言： 用一个字母代表一个命题。如： A：8是2的4倍，B：地球是方的 命题与命题可以通过命题联接词组合，形成复合命题 2）命题连接词 由自然语言中的联接词抽象而来。主要有： ┐否定：对命题取否 如：┐B：地球不是方的 ∧合取：并且、和、及 两个命题必须同时成立 定义：P∧Q为真，当且仅当P、Q都为真 P：小王会唱歌 Q：小王会跳舞—— P∧Q：小王既会唱歌，又会跳舞 ∨析取：或，OR。两个命题中至少有一个成立 定义：P ∨Q为真，当且仅当P、Q至少有一个为真 P：我去庐山度假 Q：我在家休息—— P∨Q：我去庐山度假或我在家休息 →蕴含：若---则--- P→Q：如果P则Q 不是独立算子，可以表达为：P→Q←→┐P∨Q=（1-P）∨Q 定义：P→Q为假，当且仅当P为真而Q为假 P：天下雨 Q：地湿 P→Q：天下雨地就湿 ←→等价：当且仅当 定义：P←→Q=（P→Q）∧（Q→P） =（（1-P）∨Q）∧（（1-Q）∨P） P：m是偶数 Q：m2是偶数—— P←→Q：m是偶数当且仅当m2是偶数 3）推理规则 命题是将自然语言抽象为严格的形式语言 更重要的是如何用这种形式语言进行推理，即研究如何通过各种已知的条件（前提），通过某些推理规则得出一些新的结论 最常用的推理规则有两个：取式、拒取式 取式：即所谓假言推理 含义：当P→Q为真 且 P为真时，可推出Q为真的结论 即：（P∧（P→Q））→Q 1）P（前提） 2）P（前件）→Q（后件） 拒取式：取式的对偶形式 含义：当P→Q为真且Q为假时，可推出 P必为假的结论 即：（┐Q∧（P→Q））→┐P 1） ┐Q（前提） 2） P（前件）→Q（后件） 2、模糊逻辑 从普通逻辑中派生出来的。最大的不同在于：所处理的命题为模糊命题 1）模糊命题：x is A A是模糊的，须用模糊集合表达 如， P：广州是一个大城市 Q：中国人口多 P、Q的真值无法简单确定，只能说“比较真”、“非常假”等，或者说P或Q的真值只可取闭区间[0，1]间的任意值 2）修饰词算子m： P’= x is mA P’： 广州是一个稍微大的城市 Q’： 中国人口非常多 m对模糊命题的操作，实际上是对命题的谓语中的模糊集的操作 极A=A4， 非常A=A2， 较A=A1/2 稍A=A1/4， 不A = 1-A，┐A：NOT A 修饰词算子是对模糊命题的一元运算 AND，OR等是对模糊命题的二元运算 3）模糊命题间的二元运算 模糊命题间的二元运算的结果较普通命题间的运算具有更丰富的含义 如，普：“这件衣服不大” 和“这件衣服不小”：合取的结果是假 模糊：“这件衣服不大”，“这件衣服不小”，进行AND运算的结果： 这件衣服不大且不小 或：这件衣服大小适中——模糊集 x is A，x is B——二元运算——x is C C——一个新的模糊集 模糊命题的运算，实际上是模糊集合间的运算 若二个命题主题其主语指同一事物： x is A AND x is B = x is A∩B x is A OR x is B = x is A∪B 如，x大但并非很大——x is B AND NOT x is B2 = x is B∩（1-B2） B——大 若二个命题主题其主语指两个事物： 他胖且高，不能直接进行交、并的运算： x is A AND y is B = （x，y） is A×B 其中，X、Y分别是A、B的论域。A×B 是一个模糊集合，论域为X×Y ，且定义： μA×B（x，y）=μA（x）∧μB（y） 3）模糊关系与模糊命题的联系 A∩B、A∪B 、A×B等均为二维空间中的模糊集合，而二元模糊关系也可用定义在二维空间中的模糊集合表示 事实上，如“x比y大许多”，“ x与y大致相等”等模糊关系，本质上就是一些模糊命题 模糊关系与模糊命题的最重要的联系在于： 可以用模糊关系描述模糊命题间的蕴含运算“→” “→”：模糊控制中最重要的一种运算； “→”与模糊规则的形式完全一致： IF---THEN--- if x is A then y is B，等价于： x is A→y is B 一般，模糊命题的模糊运算可表达为一个模糊关系R：