运筹学整数规划课件.ppt

最通常的松驰问题是放弃变量的整数性要求后，（P）为线性规划问题。 分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。 分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。 若松驰问题无可行解，则原整数规划问题也无可行解，计算结束。 若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。 若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。 从不满足整数条件的基变量中任选 一个xl进行分枝，它必须满足xl ?[xl ] 或xl ?[xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加进原问题中，形成两个互不相容的子问题（两分法）。 定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。 定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。 剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止。 例5-6 用分枝定界法求解： Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ? 12 4x1+2x2 ? 9 x1,x2 ? 0 整数 用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解（6/5，21/10）Z=111/10为各分枝的上界。 0 1 2 3 4 4 3 2 1 x1 x2 分枝：X1 ? 1,x1 ? 2 P1 P2 * * 第五章 整数规划 1 引 言 整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划，可分成线性和非线性两类。 根据变量的取值性质，又可以分为全整数规划，混合整数规划，0-1整数规划等。 整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能解中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数规划问题，还没有好的办法。 例5-1：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。 10 4 8 14 18 15 20 重要系数 4 2 12 6 2 5 5 重量 设备 相机 帐篷 绳索 冰镐 氧气 食品 物品 7 6 5 4 3 2 1 序号 解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10x7 s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 ?25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7 例5-2 背包问题( Knapsack Problem) 一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一些最有用的东西,但有个限制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一个“价值”以表示其有用的程度,如果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最大? 解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=0表示不携带物品j，则问题表示成0-1规划: Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj ? b xj=0 或1 数学模型 整数规划(IP)的一般数学模型: Max (min) Z = Σcjxj s.t. Σaijxj ? bi(i=1,2,…m) xj ? 0 且部分或全部是整数 解法概述 当人们开始接触整数规划问题时，常会有如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过一一比较后，总能求出最好方案，例如，背包问题充其量有2n-1种方式；连线问题充其量有n!种方式；实际上这种方法是不可行。 设想计算机每秒能比较1000000个方式，那么要比较完20!（大