金融工程9课件.pptVIP

Dr.Ouyang 第九章 二叉树模型 教学目的与要求 二叉树图方法是为期权和其他衍生证券进行估值的一个十分有用的方法。本章对这一方法在股票期权估值上的应用进行了介绍。通过本章的学习，要求能够掌握运用单步和两步二叉树图方法对欧式期权和美式期权进行估值的方法，理解并掌握衍生证券估值中的风险中性原理。 教学重点及难点 一、用二叉树图方法对期权进行估值的基本思路 二、风险中性估值原理 三、Delta的含义和计算 9.1 单步二叉树图 9.2 风险中性估值 9.3 两步二叉树图 9.4 美式期权估值 9.5 Delta 9.6 二叉树模型在实际中的应用 9.1 单步二叉树图 9.1.1 二叉树图的构造 问题 假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？ 股票价格运动的一个例子 图9-1 单步二叉树模型（时间3个月，无风险利率12%） 思路 根据期权的特性，显然可以用如图9-1所示的二叉树图来描述股票和期权的价格运动。如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。 构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。 由图9-1可知，当股票价格从$20上升到$22时，该证券组合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证券组合的总价值为18Δ。 完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由 22Δ—1=18Δ 得 Δ=0.25 因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。 在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。 假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为： 4.5e-0.12×0.25=4.3674 股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。因此，由 20×0.25－f=4.3674 得 f=0.633 如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。 另一种求解的思路 我们也可以构造如下投资组合： 组合A：Δ股的股票和B元的现金（或负债，如果B0） 组合B：一单位期权 我们希望： 在期末，组合A与B的价值都相等（ ST=22或ST=18 ） 那么，期权的价格c就可以由组合A的价格求得 首先需要确定Δ与B，可以求解如下方程组： 22×Δ+B×e0.12×0.25=1 18×Δ+B×e0.12×0.25=0 求解得到Δ=0.25，以及B=-4.367 因此，f=20×Δ+B=0.633 9.1.2 一般结论 考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况 。 一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空头构成。 如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为： SuΔ—fu 如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为： SdΔ—fd 当两个价值相等时 SuΔ-fu =SdΔ- fd 即 （9.1） 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。 用r表示无风险利率，该组合的现值应为： 而构造该组合的成本是： 因此