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1-2向量的基本应用.doc
§向量的基本應用
主題1:線性組合與分點公式
1.線性組合:任給不平行的二向量、,則在與所決定之平面上的每一個向量都可以寫成的形式,稱為與的線性組合;且其寫法唯一。
2.獨立性: , ,則 。
3.三點共線問題:設平面上三點,若三點共線,使得
(且,使得 。
4.三點不共線,且,則。
5.內分點公式:,且,則 。 (為任意點)
6.外分點公式:,且,則。
7.三角形中點連線定理:中,、、 ((且。
8.畢氏定理及其逆定理:中,。
9.平行四邊形定理:為平行四邊形。
10.平行四邊形逆定理:為一四邊形,若,則為平行四邊形。
11. 孟氏定理(Menelaus theorem)
設△ABC被直線l所截分別交
三邊於D、E、F,。
12.△ABC面積 (※重要範例
1.設G為正六邊形ABCDEF之一邊上之中點,若( ((,則((,() ( 。
【解答】(2,)
【詳解】((((( (++) +
(+++ 2(( 2(
∴ ((,() ( (2,)
隨堂練習表成r( s的形式 。
【解答】(( 2
【詳解】(((( 2(( 2(()
( (( 2
隨堂練習上的一點,(,E是延長線上的一點,( 3,把表成r( s的形式為 。 【解答】3(
【詳解】((( 3(
2.設,不平行,若(x ( y ( 2) ( ( x + y ( 4) (,則數對(x,y) ( 。
【解答】(1,3)
【詳解】若(x ( y ( 2)+ (x ( y ( 4)(且,不平行∴ ( x ( 1,y ( 3,故(x,y) ( (1,3)
隨堂練習和不平行,若(3x ( y ( 5)( (x ( y ( 1)(,則x ( y ( 。
【解答】3
【詳解】(3x ( y ( 5)( (x ( y ( 1)(( 0( 0 ( ,得x ( y ( 3
3.△ABC中,D為上一點且 = 2,G為中點,若= r( s,r,s ( R,則數對(r,s) ( 。【解答】()
【詳解】=(
((() (( ∴ (r,s) ( ()
4.△ABC中,D (且,E (且:( 2:1,若與相交於P,則( ( 。 【解答】,
【詳解】如圖,設定坐標系:A(0,0),B(2,0),C(0,3)
( D(1,0),E(0,2):(( 1 ( x ( y ( 2;:(( 1 ( 3x ( y ( 3解之得 x (,y (( (.(.(((((() ((
隨堂練習上且:( 2:3;F在上且:( 3:4,與交於點P,若( x( y,則數對(x,y) ( 。 【解答】(,)
【詳解】((( (1 ( ()……((∵ B - P - E)( ( () ( (1 ( ()() ((其中(( 1(∵ F - P - C) ( ( (代入(則((((.() ((∴ 數對(x,y) ( (,)
5.△ABC中,D是中點,E點在上,且:( 2:1,與交於P點,(1)設( x( y,求數對(x,y) ( 。 (2)求:( 。
【解答】(1) (,) (2) 3:1
【詳解】(1)( x( y( x(y(∵:( 2:1)∵ B,P,E三點共線 ∴ x (y ( 1……(( x( y( 2x( y(∵ :( 1:1)∵ D,P,C三點共線 ∴ 2x ( y ( 1……(由((得(x,y) ( (,)(2)由(1),(( ( ((( (() ((() (( () ( (∴ :( 3:1
隨堂練習ABC中,D為中點, E (且:( 1:3,交於點P,若( x( y,則數對(x,y) ( 。 【解答】(,)
【解1】(1)由( x( y( x() ( y
∵ E,P,B共線 ∴ x ( y ( 1(2)由( x( y( x( y (2) ∵ A,P,D共線 ∴ x ( 2y ( 1(3)由(1),(2)得x (,y (【解2】(1)利用孟氏(Menelaus)定理..( 1 ( ((( 1 ( :( 1:4(2)∴ ((() (( x( y∵ ∴ x (,y (
6.△ABC中,M為之中點,( 4,( 3,延長交於P,則(1)( k ( k ( 。(2)( ( 。
【解答】(1) k ( (2)
【詳解】M為之中點 ( (M為,所成平行四邊形對角線之中點)設(((∵ D,P,E三點共線 ∴ 隨之,
隨堂練習| ( 2,|| ( 3,若( 5( 2且交於D,則:( 。 【解答】2:5
【詳解】( k(∵ A,D,P三點共線) ( ( (5k
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