09-王佳-粘弹性反馈模型快速逼近算法研究-湖南理工学院.doc

湖南省大学生研究性学习和创新性实验计划 项　 目　 申　 报　 表 项目名称: 粘弹性反馈模型快速逼近算法研究 学校名称 湖南理工学院 学生姓名 学 号 专 业 性 别 入 学 年 份 王佳 14121401648 数学与应用 数学 男 2012.9 王怡芬 14121401650 数学与应用 数学 女 2012.9 王易 14121401651 数学与应用 数学 女 2012.9 欧阳欣 14121401639 数学与应用 数学 男 2012.9 指导教师 黎丽梅 职称 讲师 项目所属 一级学科 数学 学生曾经参与科研的情况 没有参与科研项目。 指导教师承担科研课题情况 1.主持完成湖南省教育厅项目“一类带弱奇异核偏积分微分方程的数值解研究”，项目编号为09C469。 2. 参与国家自然科学基金项目粘弹性棒和板问题有限元方法误差分析项目批准 3. 参与国家自然科学基金项目 批准 项目研究和实验的目的、内容和要解决的主要问题 研究目的： 近些年，许多研究者们发现，分数阶微积分算子与整数阶微积分算子不同, 具有非局部性，非常适合用来描述现实生活中具有记忆和遗传特性的材料，如：分形和多孔介质中的弥散、电容理论、电解化学、湍流、凝聚态物理、粘弹性系统、生物数学及统计力学等。研究表明，在传统的整数阶方程不能建模的现象中，分数阶方程为此提供了可能。 粘弹性反馈模型是一类很重要的分数阶偏微分方程（也称为带有弱奇异核的偏积分微分方程），具体形式如下： 这里, 表示左Riemann-Liouville分数阶积分算子，定义如下： 其中核，. 当时，核有奇异，表示Gamma函数，A和B 是二阶线性椭圆微分算子，是d维有界区域。 方程（I）Alternating direction implicit简称ADI）有限差分法解二维带有弱奇异核的偏积分微分方程进行研究。 1．利用交替方向隐式欧拉方法解二维带有弱奇异核的偏积分微分方程。时间方向采用向后欧拉格式，空间方向使用有限差分，积分项运用一阶卷积求积公式，得到时间空间全离散格式，然后巧妙地引进一个高阶差商项，将全离散格式表示成ADI有限差分格式，从而可以交替方向求解，把多维问题转化为一维问题。 2．利用Grank-Nicolson交替方向隐式差分法解二维带有弱奇异核的偏积分微分方程。时间方向采用 Grank-Nicolson 格式，空间方向使用二阶差分，积分项运用二阶卷积求积公式，得到时空全离散格式，然后巧妙地引进一个高阶差商项，将全离散格式表示成时间空间都能达到二阶精度的ADI差分格式。 3．运用Matlab软件编写程序，通过数值例子和数值试验验证ADI格式数值算法的有效性。 拟解决的关键问题： 1）如何引进一个高阶差商项将全离散格式表示成ADI差分格式，从而可以交替方向求解。 2）会用MATLAB软件编程。 国内外研究现状和发展动态 上个世纪末，有许多研究者探讨了分数阶微分方程的解析解，求分数阶微分方程的解析解常常借助于积分变换如Fourie变换、Laplace变换、Mellin变换等技巧而得到，并且这些解的形式非常复杂, 是由一些不方便计算的特殊函数（如Fox函数、Mittag-Leffler函数、Wright函数等）给出。而且有些解析解仅仅在一些特定的情况下才能得到，甚至有的解析解无法求出，如变系数、高维、非线性等情形，因而讨论求分数阶微分方程的数值解是必要的。 对于方程（I）Sloan和Thomee [7]，Yanik 和Fairweather[8],Lin et al.[4]）。就非光滑核的情况而言，也有一些作者用上面的方法进行了讨论，如陈传淼[5]、徐大[3]、Larsson et al[9]。 对于方程(I)的非线性问题, Sanz-serna[10]、Lopez-Marcos[11]、汤涛 [1]用有限差分法进行了研究；徐大[2]时间方向采用隐式欧拉方法，空间方向使用有限元得到了全离散格式，并证明了全离散解的最大模误差估计；K. Mustapha 和H. Mustapha[12]时间方向采用Grank-Nicolson格式，空间方向使用线性有限元，研究了方程（I），时间方向达到二阶精度。 对于方程（I）中当时，在近几十年里，不同的数值方法和技术都对它进行了研究。Lubich[13]采用线性多步法、张铁[6]用有限元方法研究了此方程； Mclean和Thomee在[14]中时间方向使用Euler和二阶差商，空间方向采用Galerkin有限元方法研究了光滑与非光滑核的积分微分方程，得到了半离散和全离散格式的稳定性和误差估计，并给出了解的正则性估计；由于时间