2006江苏省数学学会等级教练培训讲义——从几何问题谈竞赛培训.doc

2006江苏省数学学会等级教练培训讲义 ——从几何问题谈数学竞赛的培训工作 满涛 2006年7月26日 数学竞赛——交流、学习、共同进步 教练员应做到 研究竞赛试题 做好培训计划 培训的有序正常开展 自身水平的提升 第一部分 从初中数学竞赛试题看竞赛试题的特点和要求 1、下图是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是正方形四条边的中点，请计算图中红色八边形的面积。 （试题的美、整体中研究部分、落脚点很容易） 2、如图，四边形ABCD中，AD = DC = BC，角CDA = 150°，∠C为直角，则∠B= 。 辅助线添加的对称、整体的思想、简洁、新意。 3、空间有一红色实心单位正方体，问最多能在它周围摆上 个黄色实心单位正方体，使得摆的每个正方体与红色正方体都有大于零的接触面积． 解：如图，象下面中间那层那样摆好7个正方体，中间红色的就是固定的那个正方体；上面、下面也都这样摆好7个，然后将上下的7个正方体旋转45度即可．也见旁边俯视图． 总结初中数学竞赛几何试题的特点 代数化 4、在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米，三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ ? 设AG和GB的长度，列方程分别表示已知的两个三角形面积。注意三角形GEC和三角形GFD的面积可表示成矩形的面积与周围的直角三角形的面积差。 5、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么，△ABC的面积等于（ ） （A）12 （B）14 （C）16 （D）18 连接DE，先求梯形DBCE的面积。求面积的时候利用两条对角线相互垂直，那么梯形的面积就是被对角线分成的四个小直角三角形的面积和。利用了因式分解。 ◆ 优化问题 6、如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于 ( ) (A) (a2 + b2) (B) (a2 + b2 ) (C) (a + b )2 (D) ab ①考虑到三角形的面积不大于其任意两边乘积的一半。②基本不等式。 7、凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问：对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积最大？面积最大值是多少？ 解：设AB=x, AC=y, 则CD=16-x-y. 答：当时， 四边形ABCD的最大面积为32。 8、如图，四面体DABC的体积为，且满足则 。 解： 即又 等号当且仅当时成立，这时面ABC，. 整体和部分 9、一块四边形绿地（如图）BC=a,CD=b,∠C=120°,∠D=135°,求这块地的面积。（用a,b,c表示） 对称 10、如图，已知∠A=∠B，AA1、PP1、BB1均垂直于A1B1， AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12.则AP+BP的值是（ ） （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 与其他知识的结合 11、如图所示，点B是线段AD的中点，由A、B、C、D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是，令K为菱形T的面积。已知K是正整数，试求K的最大可能值. 第二部分 数学竞赛选手的培养 提供背景，开拓视野 尝试探究，训练思维 积累模型，解一通一 分组分类，强化训练 提供背景，开拓视野 13、下图是由风筝形和镖形两种不同的铺设砖铺设而成。请仔蓝观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度？ 背景：这是一种镶嵌图形，就是像铺瓷砖那样的现象。在龟壳、鱼鳞甚至人的皮肤蓝胞上是很明显的，它们看上去就像是镶嵌一样。镶嵌分周期性和非周期性镶嵌。在周期性镶嵌中，一种基本的图案在人们眼睛往垂直和水平方向移动时，会重复地出现。此题是著名数学物理家R.Penrose于1974年发现的一套能产生无数种不同的平面非周期镶嵌的瓷砖，仅有两种类型：镖形和风筝形。用Penrose瓷砖虽然不能作周期平面镶嵌，但是却有5折对称，即若将Penrose镶嵌印在一张透明纸上，将镶嵌旋转圈，图形和原有的图形相合。 相关联系的问题 14、请数出图形中三角形和正方形的个数 此图是用直角三角形做的非周期镶嵌的一个例子。 数学家相信，如果一种非周期镶嵌能够用特殊形状铺镶的话，那么用同样的形状也能做出一种周期的镶嵌，但是，并未证明。1964年，发现了一套只能用于非周期镶嵌的瓷砖，这套瓷砖含有20000种不同的形状。