人教版高考总复习数学5-2课件.ppt

1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n∈N*，d为常数)． (2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是 ，其中A叫做a，b的 ． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ ，an＝am＋ (m，n∈N*)． 注：an＝dn＋a1－d，当公差d不等于零时，通项公式是关于n的一次式，一次项系数为公差，常数项为a1－d. (2)前n项和公式： ＝ 3．等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则有 ，特别地，当m＋n＝2p时， . 注：此性质常和前n项和Sn结合使用． (2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差d0， 则数列为 ； 若d0，则数列为 ；若d＝0，则数列为 ． 1．设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项的和为 (　　) A．128　　　　　　　　　 B．80 C．64 D．56 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则由a2＝3，a7＝13，得a7－a2＝5d＝13－3＝10， 即d＝2，a1＝a2－d＝1. 故S8＝8a1＋ d＝8＋56＝64. 答案：C 2．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则 (　　) A．S9S10 B．S9＝S10 C．S11S10 D．S11＝S10 解析：由已知得d＝ ＝1， ∴a1＝－9，∴a10＝a1＋9d＝0， ∴S10＝S9＋a10＝S9. 答案：B 3．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________. 思路分析：欲证{bn}是等差数列，只须证明bn＋1－bn是常数． 等差数列的定义是证明一个数列为等差数列的基本依据，要注意学会将已知条件转化. 利用方程思想，通过题设条件建立方程组，求出等差数列的最基本元素a1和d，是求解数列通项公式an和前n项和Sn的常见解法． 变式迁移 2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，S10＝190. (1)求等差数列{an}的通项公式an； (2)设p，q∈N*，试判断ap·aq是否仍为数列{an}中的项，并说明理由． 【例3】　已知数列{an}是等差数列． (1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n； (2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 思路分析：(1)由a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，得a1＋an＝22，进而求n；(2)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列求解；(3)利用等差数列的性质求解． (1)灵活应用等差数列的性质，可简化运算，提高解题速度． (2)利用性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”可将Sn与an有机结合起来，解决此类问题要有整体代换意识． (3)若等差数列{an}有2n－1(n∈N*)项，an为中间项，则奇数项和S奇＝an·n，偶数项和S偶＝an·(n－1)，所有项和S＝an·(2n－1). 变式迁移 3　设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________. 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵数列{an}是等差数列，∴S9＝ ＝9a5＝72，得a1＋a9＝16，即2a5＝16.∴a5＝8. 于是，a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝3(a1＋4d)＝3a5＝24.故填24. 答案：24 【例4】　已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是 (　　) A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或9 解法二：∵d0，|a3|＝|a9|，∴a30，a90，且a3＋a9＝0.即2a6＝0，∴a6＝0. 故数列{an}的前5项都大于0，从第7项开始各项都小于0.从而前5项或前6项的和最大．故选B. 两种解法都具有一般性，解法一是利用等差数列前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的最值求解，要注意n只能取正整数；解法二是通过运算判断数列哪些项为正，哪些项为负，进而确定前多少项的和最大，要注意数列中为0的项．上面的解法二利用等差数列的性质，得到a6＝0，从而顺利地确定了数列的正项与负项，如果不利用性质，也可以利用通项公式，通过解不等式确定项的正负，但运算较繁琐.