函数的奇偶性(实用)解读.ppt

观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？ 函数奇偶性的定义: 奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数. 对于奇、偶函数定义的几点说明: * * 生活中的对称美 故宫博物馆 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。 除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？ 而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。 点此播放讲课视频 x y O 1 -1 f(x)=x2 （1） （2） y x O x0 -x0 例如：对于函数f(x)=x3 有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x) -x x 结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x) 点此播放讲课视频 -x x f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下： f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x) 结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x) 而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下： 偶函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数. (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 （3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 （1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。 练习: 说出下列函数的奇偶性: ①f(x)=x4 ________ ③ f(x)=x ________ ④ f(x)=x -2 __________ ⑤ f(x)=x5 __________ ⑥f(x)=x -3 _______________ ② f(x)= x -1 __________ 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。 三、例题讲解 解： (1)对于函数f(x)=x4, 其定义域为(- ∞,+ ∞) ∵对定义域内的每一个x,都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x) ∴函数f(x)=x4为偶函数. (2) 对于函数f(x)=x5, 其定义域为(- ∞,+ ∞) ∵对定义域内的每一个x,都有 f(-x) ∴函数f(x)=x5为奇函数. =(-x)5 =-x5 = -f(x) 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称. ⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立. 三、例题讲解 解： 思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？ x y 0 1 2 f(x)=2x+1 -1 分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 ∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x) ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。 (1) f(x)= (2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4) 解: ∵定义域不关于原点 对 称 或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数 解: 定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数 思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？ 思考3： 在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既