函数与方程模块解读.doc

函 数 模 块————函 数 与 方 程 函数与方程主要包括函数的零点和二分法求解，其中二分法求方程的解一般都要用到计算器（也可以直接以表格的形式给出部分要算的值，但考的很少），但高中又不允许使用计算器，所以二分法的问题一般不会作为考点出现，但二分法的思想还是要求学生有一定的了解。所以我们函数与方程主要研究的是函数的零点问题。 函数与方程在近三年高考中的分布表 年份 填空题 解答题 2011 0 0 2012 0 1（第18题，导函数的零点以及复合函数的零点） 2013 0 1（第20题，利用导数研究函数的零点个数问题） 在高考中，由于题量有限且考点众多，所以一直以来填空题中函数与方程都没有独立命题，且在2011年以前，整张高考卷中都没有直接考察函数与方程的题，而2012和2013年连续两年虽然填空题依然没有重点考察函数与方程的问题，但在函数与导数的综合题中都是研究函数零点个数的问题，且难度较大作为压轴题的形式出现，很多学生措手不及，无从下手。从考试的趋势来看，函数与方程慢慢作为一个热点和难点在高考中占有越来越重要的地位。它除了涉及一些函数与导数的基础知识和研究方法之外，往往还会和高中四大数学思想函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化相结合，对学生的综合分析能力、逻辑推理能力、数形转化能力以及计算能力都提出了较高的要求，在高考中属于拔尖题。这就要求我们对函数的零点问题的一下基本问题以及常见解题思路和方法要有所掌握并熟练运用。 专题一零点存在定理函数的零点：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点（注意零点是数不是点） 函数y=f(x)有零点 f(x)=0有实根 函数y=f(x)图象与x轴有交点 如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点（即存在，使得．这个也就是方程的根） 【例1】下列说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举出反例 （1）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内只有一个零点； （2）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，函数是单调函数，并且，那么函数在区间只有一个零点； （3）如果函数在区间上的图象是不连续的一条曲线，并且，那么函数在区间内一定有零点； （4）如果函数在区间上的图象是不连续的一条曲线，并且，那么函数在区间内一定没有零点 （5）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内一定有零点 （6）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内一定没有零点 （7）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，函数是单调函数，并且，那么函数在区间内一定没有零点 （8）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，且函数在区间内有零点，那么一定有 （9）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，函数是单调函数，并且在区间内有零点，那么一定有 （10）如果函数在区间上的图象是不间断的一条曲线，并且在区间内有零点，那么 【解析】（1）不正确；由零点存在定理只能得到在区间内有零点，具体有几个不一定，可能有多个，如图1在区间（-2,2）上存在3个零点；（2）正确；由零点存在定理只能得到在区间内有零点，假设有两个或以上零点，且函数图象不间断，那么在区间存在着极值点（即图象的拐角点），与函数是单调函数矛盾，所以有且只有一个零点；（3）不正确；因为函数图象不连续，所以不一定存在零点，如图2在区间（-2,2）上就没有零点；（4）不正确；如图3；（5）不正确；如图4，零点可能在端点，所以应该说在上有零点；（6）不正确；如图5；（7）正确；单调函数在两端点必定是两个最值点，又，所以最大值和最小值同号，所以值域不包括0，所以f(x)=0无解，函数无零点；（8）不正确；如图5；（9）正确；函数有零点，所以f(x)=0有解，即函数的值域包括0，单调函数在两端点必定是最大值点和最小值点，必定异号，所以一定有；（10）不正确；如图6. 图1 图2 图3 图4 图5 图6 【小结】变号零点与不变号零点 若函数在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点． 若函数在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点． 若函数在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件． 要点：如果函数最值或极值为0，则不能用求零点所在区间