武汉大学《高等数学》1.5 极限运算法则.pptVIP

第五节 一、 无穷小运算法则 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 二、 极限的四则运算法则 推论: 若 定理 4 . 若 定理 5 . 若 定理6 . 若 例3. 设有分式函数 例5 . 求 例6 . 求 一般有如下结果： 三、 复合函数的极限运算法则 例7. 求 例8 . 求 内容小结 思考及练习 3. 求 4. 试确定常数 a 使 作业 备用题 设 * 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， ( P56 , 题 4 (2) ) 解答见课件第二节 例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 证: 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 则 ( P45 定理 5 ) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小 (详见P44) 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 ! 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为非负常数 ) ( 如P47 例5 ) ( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 说明: 若定理中 则类似可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 已知 ( 见 P46 例3 ) ∴ 原式 = ( 见 P33 例5 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 是否存在 ? 为什么 ?