例题数据线性代数第六章6课件.pptVIP

第六章 线性空间与线性变换 向量空间又称线性空间, 是线性代数中一个 化了. 具一般性. 当然, 推广后的向量概念也就更加抽象 要把这些概念推广, 使向量及向量空间的概念更 量, 并介绍过向量空间的概念. 在这一章中, 我们 最基本的概念. 在第四章中, 我们把有序数组叫向 线性空间的定义 主要内容 举例 线性空间的性质 子空间 第一节 线性空间的定义与性质 定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域. 八条运算规律(设 ? , ? , ? ? V ; ? , ? ? R): ? 的积, 记作 ? ? ?? ; 并且这两种运算满足以下 总有唯一的一个元素 ? ?V 与之对应, 称为 ? 与 = ? + ? ; 个元素 ? ?V 与之对应, 称为 ? 与 ? 的和, 记作 ? 如果对于任意两个元素 ?, ? ? V, 总有唯一的一 又对于任一数 ? ? R 与任一元素? ?V , 1. 定义 一、线性空间的定义 (i) ? + ? = ? + ? ; (ii) (? + ?) + ? = ? + (? + ? ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 ? ? V , (v) 1 ? = ? ; 使 ? + ? = 0 ; (iv) 对任何 ? ? V , 都有 ? 的负元素 ? ? V, 都有 ? + 0 = ? ; (vi) ? (? ? ) = (?? )? ; (vii) (? + ? )? = ?? + ?? ; (viii) ?(? + ? ) = ?? + ?? . 那么, V 就称为(实数域 R 上的)向量空间(或 称为向量空间. 就称为线性运算; 凡定义了线性运算的集合, 就 简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算, 统称为(实)向量. 线性空间), V 中的元素不论其本来的性质如何, 在第四章中, 我们把有序数组称为向量, 并对 运算. 规律, 当然也就不一定是有序数组的加法及数乘 (2) 向量空间中的运算只要求满足八条运算 (1) 向量不一定是有序数组; 特殊情形. 比较起来,现在的定义有了很大的推广: 的集合称为向量空间. 显然, 那些只是现在定义的 足八条规律. 最后, 把对于运算封闭的有序数组 它定义了加法和乘数运算, 容易验证这些运算满 例 1 次数不超过 n 的多项式的全体, 记作 P[ x ]n , 即 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成 下面举一些例子. 只要验证 P[ x ]n 对运算封闭: 项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故 向量空间. 这是因为, 通常的多项式加法、数乘多 二、举例 所以 P[ x ]n 是一个向量空间. 例 2 n 次多项式的全体 对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空 Q[ x ]n 对运算不封闭. 间. 这是因为 0 p = 0 xn + ··· + 0 x + 0 ?Q[ x ]n , 即 例 3 正弦函数的集合 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量 闭: 满足线性运算规律, 故只要验证 S[ x ] 对运算封 空间. 这是因为, 通常的函数加法及乘数运算显然 所以 S[ x ] 是一个向量空间. 检验一个集合是否构成向量空间,当然不能 则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律. 加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算, 只检验对运算的封闭性(如上面两例). 若所定义的 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 例 4 n 个有序实数组成的数组的全体 不构成向量空间. 可以验证 Sn 对运算封闭. 但因 不满足运算规律 (v) , 即所定义的运算不是线性 个集合, 若定义两种不同的线性运算, 就构成不同 的概念是集合与运算二者的结合. 一般地说, 同一 空间而 Sn 则不是向量空间. 由此可见, 向量空间 由于在其中所定义的运算不同, 以致 Rn 构成向量 比较 Sn 与 Rn , 作为集合, 它们是一样的, 但 运算, 所以 Sn 不是向量空间. 的向量空间若定义的运算不是线性运算, 就不能 构成向量空间. 下例. 为了对线性运算的理解更具有一般性, 请看 可以说, 把向量空间叫做线性空间更为合适. 间的本质, 而其中的元素是什么倒不重要, 由此 所以, 所定义的线性运算是