中国矿业大学《高等数学》4.3分部积分法.pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 第三节 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 第四章 例1. 求 解: 令 则 ∴ 原式 思考: 如何求 提示: 令 则 原式 例2. 求 解: 令 则 原式 = 例3. 求 解: 令 则 ∴ 原式 例4. 求 解: 令 , 则 ∴ 原式 再令 , 则 故 原式 = 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例5. 求 解: 令 , 则 原式 = 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 例6. 求 解: 令 , 则 原式 = 例7. 求 解: 令 则 原式 令 例8. 求 解: 令 则 ∴ 原式 = 例9. 求 解: 令 则 得递推公式 说明: 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 例10. 设 证: 证明递推公式: 说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例4 例11. 已知 的一个原函数是 求 解: 说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂. 例12. 求 解法1 先换元后分部 令 即 则 故 解法2 直接用分部积分法 内容小结 分部积分公式 1. 使用原则 : 易求出, 易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 4. 计算格式 : 例13. 求 解: 令 则 可用表格法求 多次分部积分 例14. 求 解: 令 则 原式 原式 = 思考与练习 1. 下述运算错在哪里? 应如何改正? 得 0 = 1 答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 . 2. 求 提示: 得 3. 设 证: 可微且其反函 数 存在, 证明 作业 P213 4 , 5 , 9 , 14 , 18 , 20 , 21 , 22 , 24 第四节 备用题. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元) 令 则 方法2 (先换元,再分部) 令 则 故 * 运行时, 点击按酒“例4” 可显示例4 的解题过程. 目录 上页 下页 返回 结束 * 运行时, 点击按酒“例4” 可显示例4 的解题过程.