中国矿业大学《高等数学》4.4有理函数积分.pptVIP

第四节 一、 有理函数的积分 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : (2) 用赋值法 (3) 待定系数法 四种典型部分分式的积分: 详细推导 接推导1 接推导2 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 按常规方法解: 按常规方法解 二 、可化为有理函数的积分举例 例8. 求 (2) 通常求含 例10. 求 例10. 求 (3) 形如 接(3)形如 例11. 求 (4) 形如 例12. 求 (5) 形如 2. 简单无理函数的积分 例14. 求 例15. 求 例16. 求 3. 指数函数有理式的积分 内容小结 思考与练习 作业 分段函数的积分 二、例题分析 接例1 例2. 求 解: 令 则 原式 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 解: 令 则 原式 例17. 求 解: 令 则 原式 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 简便 , 如何求下列积分更简便 ? 解: 1. 2. 原式 P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 24 第五节 1.求不定积分 解： 原式 = 前式令 ; 后式配元 备用题 一、 计算方法 （1）求分段函数的原函数时，应先分别求出函数在各个相应区间内的原函数，然后考察函数在分段点处的连续性。 （2）如果给定的函数在包括分段点的区间内连续，那么它的原函数存在，且原函数可导，从而根据原函数的连续性来确定积分常数。 （3）如果分段函数的分段点是第一类间断点，那么分段函数在包括该间断点的区间内不存在原函数。而它只是第一类间断点两侧的区间内存在各自的原函数，当然积分常数互相独立。 例1. 设 求 解： 在(- ? ,+ ?)内连续， 故在(- ? ,+ ?)上存在原函数 F(x). 于是 其中C1与C2不是互相独立的常数。 * 目录 上页 下页 返回 结束 基本积分法 : 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 直接积分法 ; 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 解: (1) 用拼凑法 故 赋值法就是: 在恒等式中代入特殊的 x 值，从而求出待定的常数. 等式右边通分整理得: 比较分子上 x 的系数得: 所以 变分子为 再分项积分 当n = 1时， 当n 1时， 设 易得 而 递推可得 In . 解: 已知 例1(3) 例1(3) 解: 原式 思考: 如何求 提示: 变形方法同例3, 并利用书 P363 公式20 . 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 解: 原式 常规法 解: 原式 (见P363 公式21) 注意本题技巧 本题用常规方法解很繁 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 ! 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 ! 例7. 求不定积分 解： 令 则 , 故 分母次数较高, 宜使用倒代换. 设 表示三角函数有理式 , 令 万能代换 (参考下页例8) t 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式的积分 则 (1) 解: 令 则 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换 例9. 求 解: 解： 令 原式 解法 2 令 原式 的三角有理式 可采用拆项法： 设 即 比较系数得： 其中 解: 令 比较同类项系数 , 故 ∴ 原式 的积分， 可令 形如 的积分， 可令 若 可令 若 可令 若 可令 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 例13. 求不定积分 解: 原式 和 的三角有理式应该先降幂。 形如 的三角有理式 应用积化和差公式处理。 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 * 目录 上页