中国矿业大学《高等数学》5.3换元法与分部积分法.pptVIP

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第三节 一、定积分的换元法 说明: 例1. 计算 例2. 计算 例3. 例4. 设 f (x) 在[-a , a] 上连续, 1接例4 2接例4 例5. 计算下列定积分 接例5 例6. 若f (x)在[0 , 1] 上连续,证明 例7. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明: 二、定积分的分部积分法 例8. 计算 例9. 证明 2. 设 3. 设 作业 * 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) 2) 在 上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是 的原函数 , 因此有 则 则 1) 当? ? , 即区间换为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 证明 并计算 证明: 而 是奇函数, 是偶函数, 利用公式(1) (2) 证明 并计算 证明(2): 利用公式(2) 解(1): 解(2): 证: 于是 所以 解: (1) 记 并由此计算 则 即 (2) 并由此计算 周期的周期函数 则有 定理2. 则 证: 解: 原式 = 证: 令 n 为正偶数 n 为大于1的正奇数 则 令 则 由此得递推公式 于是 而 故所证结论成立 . 内容小结 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限 边积边代限 思考与练习 1. 提示: 令 则 解法1. 解法2. 对已知等式两边求导, 思考: 若改题为 提示: 两边求导, 得 得 对上式两边在[1, e]求积分得: 求 解: (分部积分) P253 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 3 ; 7 (4), (9), (10) 习题课 * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *

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