中国矿业大学《高等数学》6.2几何应用.pptVIP

* * * (L.P198 例14) 例14. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 注 注 分部积分 (利用“偶倍奇零”) 柱壳体积 说明: 柱面面积 偶函数 奇函数 例15. 设 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 故 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 例17. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 四、旋转体的侧面积 (补充) 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 侧面积元素 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 注意: 侧面积为 的线性主部 . 不是薄片侧面积△S 例19. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h ? 2 R 时, 得球的表面积公式 例20. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 轴旋转 星形线 星形线 星形线 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 R＝a 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为内摆线) 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) 绕 y 轴 : (柱壳法) 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 旋转而成的环体体积 V . 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 上 半圆为 下 此式反映了环体元素的另一种取法(如图所示). 求侧面积 : 利用对称性 上式也可写成 上 半圆为 下 它也反映了环面元素的另一种取法: 作业 P284 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 面积及弧长部分： 体积部分： P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18 第三节 备用题 解： 1. 求曲线 所围图形的面积. 显然 面积为 同理其他. 又 故在区域 分析曲线特点 2. 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 故 3. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解： 与 所围成 得 所围区域的面积为 设平面图形 A 由 与 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x ? 2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 4. 若选 y 为积分变量, 则 * 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. * 典型P282 例1.24 * * 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回. * * (94 考研数二) 目录 上页 下页 返回 结束 第六章 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分