信号与系统教学课件ppt作者王瑞兰第八章2连续系统状态方程的求解课件.ppt

二、状态方程的变换解 本节小结 1、连续系统状态方程的时域解 2、连续系统状态方程的变换域解 (2) 计算状态矢量x(t)。 状态矢量的零输入分量 状态矢量的零状态分量 于是系统的状态矢量为 (3) 计算输出y(t)。 输出的零输入分量 输出的零状态分量 因此,系统输出,即完全响应为 将连续时间LTI系统状态空间分析的一般步骤归纳如下： 第一步， 确定系统状态变量。一般地说，可以选取系统中表征记忆元件能量状况的物理量作为状态变量。通常，对于用信号流图(或框图)表示的模拟系统，选取一阶系统(包括积分器)输出变量为状态变量；对于LTI电系统，选取独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。 第二步， 用直接法或间接法列出系统的状态空间方程。 第三步，计算状态转移矩阵 或预解矩阵 第四步,求状态矢量x(t),其计算公式为 时域 S域 第五步，计算冲激响应矩阵 或系统函数矩阵 H(s)=CΦ(s)B+D * * 8.3 连续系统状态方程的解 连续系统状态方程的一般形式为 式中 状态方程的求解方法 变换法 时域法 一、状态方程的时域解 将式 等号两端前乘以 并移项得 根据矩阵指数函数的性质，上式可写成为 等号两端取t0到t的积分，得 上式等号两端前乘以 并移项，得 式中 时的状态矢量，即初始状态矢量。 第一项只与初始状态 有关，是系统状态矢量的零输入解。 第二项只与输入矢量 有关，是系统状态矢量的零状态解。 状态转移矩阵有以下重要性质： 矩阵 称为状态转移矩阵，用 表示，得 则写为 则状态方程的解 可以用类似于矩阵乘法的运算规则定义两个函 数矩阵的卷积积分。 状态方程的解可写成简练的形式 若 表示输出矢量的零状态响应 零输入响应 零状态响应 将上式代入 中得 定义一个p×p对角方阵 于是 式中 称为冲激响应矩阵。 矩阵。 其中 结论： 试求系统的状态和输出。 例8.3-1 如某LTI系统的状态方程和输出方程分别为 其初始状态和输入分别为 A的特征多项式 解 （1）求状态转移矩阵 A的特征根为 用成分矩阵法求 由给定方程得知系统矩阵 可得矩阵指数函数为 其中 将它们代入 式，得 可用另外一种方法，求得相同结果。 由 将有关矩阵代入，得 （2）求状态方程的解 零输入解 零状态解 （3）求输出 其全解 将 和 代入到输出方程，得 零输入响应 零状态响应 例 8.3-2 给定系统的状态空间方程为 已知系统初始状态 输入为单位阶跃函数。试求该系统的状态矢量x和输出y。 解 系统状态转移矩陈为: （1）计算状态矢量解x(t)。 零状态分量 于是状态矢量解为 (2) 计算输出响应y(t)。 零输入分量 零状态分量 所以，系统的输出响应为 解 1、求状态转移矩阵 求该系统的状态转移矩阵和系统矩阵A 例8.3-3一个二阶系统，其状态方程为 。 已知 当 时 当 时 状态矢量的零输入响应 为2x2矩阵 由已知条件可得 由上式可解得 将它们综合在一起，有 2、求系统矩阵，根据矩阵指数函数的性质。 令t=0得 所以 设状态矢量 的分量 的 把它们简记作 由拉普拉斯的微分性质有 对 取拉普拉斯变换 即 上式等号两端前乘以 得 零输入解 零状态解 于是得状态转移矩阵 为了方便，定义 可称为预解矩阵。于是有 取上式的逆变换就得到 对输出方程取拉普拉斯变换，得 将上式代入，得 例 8.3-4 已知系统的状态空间方程为 系统输入为单位阶跃函数，初始状态x(0-)=[1 2]T。试求 （1）状态转移矩阵 和冲激响应矩阵h(t)； （2）系统状态矢量x(t); (3) 系统输出y(t) 解 (1) 计算φ(t), h(t)。 先求预解矩阵。 因为 其行列式和伴随矩陈为 所以 取 的拉普拉斯反变换，得状态转移矩陈为 系统函数矩阵 取其拉普拉斯反变换,得冲激响应矩阵为