信号与系统教学课件ppt作者王瑞兰第六章1Z变换课件.pptVIP

第六章 离散系统的z域分析 本节小结 1、Z变换的确定 2、收敛域的确定 * * 第五章中我们讨论了离散时间系统的时域分析法,重点介绍了差分方程的求解方法。在连续时间系统中,为避免解微分方程的困难,可以通过拉氏变换把微分方程转换为复频域的代数方程。基于同样的理由,在离散时间系统中,为了避开解差分方程的困难,也可以通过一种称为Z变换的方法,把差分方程转换为Z域的代数方程。 因此,Z变换和拉氏变换在变换的性质上及利用它们来做系统分析上,都有很多相似之处。 Z变换可以直接从数学角度进行定义,也可以利用拉普拉斯变换引出。 一、从拉普拉斯变换到z变换 由教材第三章可知，对连续时间信号进行均匀冲激取样后，就得到离散时间信号。 取样信号可写为： 取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到： 其双边拉普拉斯变换为： 6.1 z变换 上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示，即 序列f(kT)的双边z变换 复变量z与s的关系是： 取样信号fs(t)的双边拉氏变换 为了简便，序列仍用f(k)表示，如果序列是由连续信号f(t)经取样得到的，那么 其中T为取样周期（或间隔）。 如有离散序列 z为复变量，则函数 称为序列f(k)的双边z变换。 如果求和只在k的非负值域进行，即 称为序列f(k)的单边z变换。 还可以写成 二、z变换 可见，如果f(k)是因果序列，则单、双边z变换相等。 Z变换简记为： 和 是z的幂级数，所以，仅当该幂级数收敛，即 三、收敛域 序列 的z变换才有意义。 序列 的z变换存在的充要条件。 绝对可和条件。 和拉氏变换一样,Z变换也有一个收敛区间的问题.对任意序列 的Z变换 ,使 存在的Z值的取值范围称为 的收敛域. 例6.1-1求以下有限长序列的z变换： 解（1）单位序列的z变换 即 可见，其单边、双边z变换相等。由于其z变换是与z无关的常数1，因而在z的全平面收敛。 序列f(k)的双边z变换为： 其单边z变换为： 可见：*单边与双边z变换不同； *对双边z变换，除z=0，和∞外对任意z， F(z)有界，故其收敛域0＜|z|＜∞； *对单边z变换，其收敛域|z|＞0。 可见，如果序列f(k)是有限长的，即当k＜K1 和k＞K2（K1，K2为整常数，且K1＜K2）时f(k)=0, 那么其象函数F(z)是z的有限次幂z-k(K1≤k≤K2) 的加权和，除z=0，∞外，F(z)有界，因此，有 限长序列z变换的收敛域一般为0＜|z|＜∞，有 时它在0和∞也收敛。 例6.1-2求因果序列 的z变换（式中a为常数）。 解： 在z平面上， |z||a|是一个半径为|a|的圆 外区域，称其为象函数F(z)的收敛域，如图所示。 显然它也是单边z变换的收敛域。 Im[z] Re[z] 0 |a| 因果序列的收敛域 例6.1-3 求反因果序列 的z变换（式中b为常数）。 解： 在z平面上，|z||b|是半径为|b|的圆内区域，如图所示。 Im[z] Re[z] 0 |b| 反因果序列的收敛域 如有双边序列 其双边z变换 |a||z||b| （1）当|b||a|时，双边z变换在该域存在； （3）对于双边z变换必须标明收敛域，否则其对应序列将不是唯一的。 Im[z] Re[z] 0 |a| 双边序列的收敛域 |b| （2）当 时，F1(z)和F2(z)没有共同收敛域，f(k)的双边z变换不存在； 若已知 ,则其原函数不唯一.如: 或 因此,Z变换必须标明收敛域,才和它的原函数一一对应. ***对于有限长序列，其双边z变换在整个z平面（可能除z=0或∞外）收敛。 ***因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 的圆外区域。 的圆称为收敛圆。 ***反因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 的圆内区域。 的圆也称为收敛圆。 ***双边序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为环状区域 。 ***不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其 双边Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同 收敛域一起与序列才是一一对应的。 常用序列的z变换： 令a=1，则单位阶跃序列的z变换： 令 则有 a为正实数 在反因果序列中，令b为正实常数，则有 令b=1，则有