信号与系统教学课件ppt作者王瑞兰第四章3）拉普拉斯逆变换课件.ppt

复习 拉普拉斯变换的性质 本节小结 1、查表法求拉普拉斯逆变换 2、部分分式法求拉普拉斯逆变换（重点） * * 4.3 拉普拉斯逆变换 对于单边拉普拉斯变换,象函数 的拉普拉斯逆变换为： 若 是有理分式，可将 展开为部分分式，然后 求得其原函数 。当然,如果直接利用拉氏逆变换表将更简便. (附录六) 可利用复变函数理论中的围线积分和留数定理进行. 若 是s的有理分式，可写为： 式中，各系数 均为实数，为简单设 。 若 ,可用多项式除法将象函数 分解为有 理多项式 和有理真分式之和。 式中 的幂次小于 的幂次。 例如： 下面主要讨论有理真分式的情形。 一、查表法（P417附录五） 例4.3-1 已知 ，求F(s)的原函数f(t)。 解 F(s)可以表示为 由附录五查得编号为2-13的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号2-13的变换对为 与本例中F(s)的表示式对比，则b1=1, b0=1，α=2，代入变换对得 二、部分分式展开法 如果 是 的实系数有理真分式（式中 ) 式中分母多项式 称为系统的特征多项式。 方程 称为特征方程，它的根称为特征根。 式中，ai(i=0, 1, 2, …, n-1)、bi(i=0, 1, 2, …, m)均为实数。若m≥n, 则 为假分式。若m＜n，则 为真分式。 式中，ci(i=0, 1, 2, …, n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。 为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。 若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和， 即 则 例4.3-2 若 为有理真分式， 可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1, 2, …, n)。si可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。si又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体形式取决于si的上述性质。 特征根可能是实根（含零根）或复根（含虚根）； 可能是单根，也可是重根。 下面分几种情况 来讨论 有单极点 有共轭单极点； 有重极点 有重实极点； 有单实极点； 有重复极点； 1、 有单极点（特征根为单根） 如果方程 的根都是单根，其 n 个 根 都互不相等，那么根据 代数理论，可展开为如下的部分分式： 其中 例4.3-3 求 的原函数 。 解： 例4.3-4 求 的原函数 。 解： 我们来看一下 之间的关系以及响应与极点的关系. 下面导出有共轭单极点时，简便实用的关系式： 设 有一对共轭单根 可以证明 取逆变换，得 若 解： 有六个单根； 例4.3-5 2、 有重极点（特征根为重根） 如果 在 处有 重根，即 ，而其余 个根 都不等于 。那么 可展 开为如下的部分分式： 其系数求法： 据此可求出相应的 常用 例4.3-6 求 的原函数 。 解： 有一个三重根和一个单根； 如果 有复重根，例如， 有二重 复根 ，则 可 展开为： 可以证明： 系数的求法同上。 例