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* 二阶偏微分线性方程的化简 目 录 正则变换化简 可逆线性变换化简 ● 转化化简 ● 正则变换化简 含 n 个自变量 的二阶偏微分线性方程的一般形式为 其中二阶项系数矩阵 为非零对称矩阵； 均为自变量的已知函数； 向量 称为一阶项系数向量． 形式为： 的二阶偏微分线性方程称为标准形。 正则变换： 设变换 在某点的邻域内， 对于变换(3)， 如果二阶偏导数 均存在且连续， 且雅可比矩阵 的行列式不等于零， 则称其为从 到 的正则变换。 由此知可逆线性变换是正则变换。由隐函数存在性定理知正则变换必有逆变换。 定理１ 如果二阶偏微分线性方程(1) 的二阶项系数矩阵A 在某区域内连续可微，则 （i） 在自变量的适当范围内， 存在矩阵 A 到规范形的相合变换矩 ， 即其使得 有解 则由其确定的变换（3）是正则变换。 （iii） 用由 （ii） 确定的变换 （3） 可将方程 （1） 化为标准形 （2） 。 （ii） 如果上述矩阵 连续可微， 且使方程 例 1 将下面二阶偏微分线性方程用正则变换化为标准形. 解 这个方程的二阶项系数矩阵为 用代数方法，可求得其规范形 C 以及从 到 C 的一个相合变换矩阵 J 分别如下 分别用J的各行系数作下列方程组： 解之， 得所需正则变换 方程 （7） 作此变换， 得标准形 ●可逆线性变换化简 定理2 对于二阶偏微分线性方程(1)， 如果其二阶项系数矩阵 A 为常数矩阵，则存在可逆数字矩阵 P 使得式（4） 成立． 将方程(１)做可逆线性变换 其中 则得标准形(2).后者的二阶项系数矩阵及一阶项系数向量依次为 其中 b 为方程(1)的一阶项系数向量。 例2 用可逆线性变换将二阶偏微分方程 化作标准形。 解 其二阶项系数矩阵及一阶项系数向量依次为 将矩阵 A 化作规范形， 可得矩阵 则方程被化为标准形，其二阶项系数矩阵及一阶项系数向量依次为 ● 转化化简 如下形式的二阶偏微分线性方程标准形 称为最简形. 定理3 在标准形（2）中，如果 均为可微函数，且 将 均当作常数时，方程 存在可微解 做代换 则可将标准形（2）转化为新函数的最简形.其中 *