偏微分方程基础-有限元MCM）培训课件.ppt

* 代入后： 5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 由于近似解在1类边界上常数，所以此项为0 选取特殊加权函数后，两项和为0 第二类边界条件也消失了，说明已经自动满足了 令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程： 5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 这里加权函数只有一个了，进一步，用迦辽金法，选加权函数为尝试函数本身 5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形： 对比简化前的代数方程：已经大大简化，关键是边界条件项全部消失，微积分计算也降阶、简化 5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 代数方程写成矩阵形式： 对称矩阵，简化计算 还有积分（求和），梯度（差分），有限元将作处理 小结：简化后1、2类边界条件自动满足； （尝试函数、加权函数选取） 微分降阶，简化计算 对称矩阵，简化计算 根据情况源矩阵、边界矩阵可能为0 6. 简化后加权余量法 例2 例1中的静电场问题，变为两电极板接地，中间充满电荷。 帕松方程 加权余量法求解： 1.初选尝试函数、构造近似解： 利用问题，对近似解进行简化，对尝试函数进行优化 6. 简化后加权余量法 例2 通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 由此，尝试函数和近似解优化为： 2. 修正尝试函数，以满足1类边界条件： 6. 简化后加权余量法 例2 3.代公式计算矩阵元素 （边界矩阵b为0） 6. 简化后加权余量法 例2 4. 封装矩阵： 6. 简化后加权余量法 例2 5. 求解矩阵，得近似解： 该有源静态电场问题的真解（解析解：） 6. 简化后加权余量法 例2 真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常有差别。如例3 偏微分与MATLAB MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）提供了空间二维问题高速、准确的求解过程。用户只要使用界面或M文件，画出所需要的区域，输入方程类型和有关系数，就可显示解的图形和输出解得数值。 本章将主要讲述如何用MATLAB实现对偏微分方程的仿真求解．MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）的出现，为偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷径．主要步骤为： (1) 设置PDE的定解问题．即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数； (2) 用有限元法（FEM）求解PDE．即网格的生成、方程的离散以及求出数值解； (3) 解的可视化． 用PDE Toolbox可以求解的基本方程有：椭圆方程、抛物方程、双曲方程、特征值方程、椭圆方程组以及非线性椭圆方程． MATLAB提供了dpepe函数来求解该问题的数值解。其基本调用格式为： sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan) 其中有t0ttf ，axb,，m=0、1或2。如果m0，则必须a0，求满足初始条件 u(x, t0)=u0(x)边界条件如下的解： 考虑如下的偏微分方程： 2.1 用偏微分方程工具箱求解微分方程 直接使用图形用户界面（Graphical User Interface，简记作GUI）求解． 图22.1 所讨论定解问题的区域 第六步： 解偏微分方程并显示图形解 选择Solve菜单中Solve PDE命令，解偏微分方程并显示图形解，如图 2.4 所示。 第八步： 若要画等值线图和矢量场图，单击 Plot 菜单中 Parameter 选项，在 Plot selection 对话框中选中 Contour 和 Arrows 两项．然后单击 Plot 按钮，可显示解的等值 线图和矢量场图，如图 2. 6 所示。 图 2 .6 解的等值线图和矢量场图 有衰减的扩散问题：设有一扩散源，某物质从此扩散源向四周扩散，沿 x，y，z 三个方向的扩散系数分别为常数，衰减（例如吸收、代谢等）使质量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为零，估计物质的分布。 设 u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y, z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲面 S，它所围的区域是 ?，由于扩散，从 t 到 t + ?t 时刻这段时间内，通过 S流入 ? 的质量为 其中 a2，b2，c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。 由高斯公式 由于衰减，? 内的质量减少为 其中 k2 为衰减系数。 由物质不灭定律，在