函数极限课件.ppt

一、极限思想 1、割圆术——刘徽 二、极限概念的形成 三、数列与函数的关系 1.数列的定义 2.函数 3.数列与函数的图象 四、变量的变化趋势 1. 整数变量的单方向性 2.连续变量 五、数列的极限 六、函数的极限 七、极限存在准则 1.极限 存在的充要条件 2.夹逼定理 3.单调有界数列 八、求解极限问题的基本方法 1.基本初等函数的极限求法 2.一般的初等函数极限求法 一、基本初等函数的极限 3. 时函数的极限 若用 d 记作充分小的正数. 那么 x 无限接近 x0 ，可由 x0 的 d 空心邻域表示，即 0 | x - x 0| d . d 表示 x 与 x0 接近的程度. 当 0 | x - x 0| d 时恒有 | f (x) - A | e . 这样 ， 就是指， 左极限 例如 4. 时函数的极限 例如 右极限 　　 一般地，当 x 无限接近于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A 的定义如下： 　　定义3　如果当 x 无限接近于 x0 时，恒有| f (x) - A| e (e 是任意小的正数)，则称当 自变量 x 趋向于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A ，记作 几何解释: 例3 左,右极限统称为函数 f ( x )的单侧极限. 即 显然 x → x0 时， f ( x ) 的极限存在的充分必要条件是： f ( x ) 在 x0 处的左、右极限存在且相等 . 例 4 解 解 例 5 例 6　试求函数 ≤ ≤ 解 (1)因为 　　函数 f (x) 在 x = 0 处左、右极限存在但不相等， 所以当 x→ 0 时， f (x) 的极限不存在. (2) 因为 　　函数 f (x) 在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，所以当 x → 1 时， f (x) 的极限存在且 例 7 解 例 5 、6和 7 说明了下列几种重要现象： 　　(1) 函数 f (x) 在 x0 处极限存在，但函数 f (x) 在 x0 处可以没有定义(如例 3) . 　　(2) 函数 f (x) 在 x0 处虽然有定义，且在 x0 处有极限， 但两者不等， 　　(3) 函数 f (x) 在 x0 处有定义，也有极限且两者相等 . 准则 ?和准则 ?称为夹逼准则. 单调增加 单调减少 单调数列 在有定义点处的极限等于此点的函数值; 在无定义处的左右极限为 分式函数在无定义处可考虑先约分再用定义法求. 在有定义点处的极限等于此点的函数值; 3.分段函数的极限求法 在区段内各点的的极限采用上述方法; 在分界点处的极限用左右极限讨论求解. 一、 基本初等函数的极限 三、分式不定式的极限求法 二、极限的四则运算 极限运算 四、两个重要极限 五、幂指形式的极限求法 （或左右极限）情况或趋势. 1. 通过观察基本初等函数 的图象来分析基本初等函数 在定义点、无穷远处及无定义处的极限 2. 基本初等函数的极限特点及求法 定义点的极限： 或为无穷大; 无定义处的极限（或左右极限）： 无穷远处的极限： 等于该点的函数值 为0（指数函数、部分幂函数和反余切）; 或C（常量函数、反切函数）; 或不存在. 二、极限的四则运算 　　 定理 1 若函数 y = f (x) 与 y = g( x ) 在 x →x0 (或 x → ∞ )时都存在极限， 则它们的和、差、积、商(当分母的极限不为零时)在 x →x0 (或 x →∞)时也存在极限，且 推论 1　常数可以提到极限号前，即 lim c f ( x ) = c lim f ( x ). 推论 2 若 lim f ( x ) = A，且 m 为正整数， lim [ f ( x ) ]m = [lim f ( x ) ]m = Am . 特殊地，有 则 解　运用定理1 及其推论可得: 例 1 因此 经济应用数学——函数极限 §1-2 极限及其趋势分析　 一、极限思想 三、数列与函数的关系 二、极限概念的形成 函数极限 四、变量的变化趋势 五、数列的极限 八、求解极限问题的基本方法 返回 下一页 上一页 六、函数的极限 七、极限存在准则 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为 ， 再作内接正十二边形，面积记为 ,再作内接正二十四边形，面积记为 循此下去，每次边数加倍 一般地把内接正 边形的 的面积记为 , 这样就得到一系列 内接正多边形的面积 内接正多边形的边数作得越多内接正多边形的面积越接近于圆的面积 播放 1、内接正多边形的边数一直增大下去结果如何？ 2、有哪些内接正多边形的面积与 外接圆的面积接近？ 3、最终内接正多边形面积能否与 外接圆的面积相等？ 微积分的创立到现