线性代数第一章行列式汇编.ppt

关于范德蒙行列 式注意以下三点 1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列. 2.结果:可为正可为负可为零. 3.共n(n-1)/2项的乘积. 对于范德蒙行列式,我们的任务就是 利用它计算行列式,因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果. 你能识别出范德蒙行列式吗？ 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？ 例： §1.3 余子式 n-1阶行列式 Aij= (-1)i+j Mij aij 的 代数余子式 （一）按某一行（列）展开 定理4 按行展开 按列展开 即：D 等于第 i 行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。 证 （下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。） (3) 四阶行列式按第三行展开的结果 ＃ n阶行列式按第i行展开： 例2 计算行列式 解 按第三列展开 其中： 所以 解2 按第二行展开 按第一列展开 例３ 讨论当Ｋ为何值时 解 所以，当 例4 求证 * 线性代数（部分） 教师：崔志涛 第一章 行列式 ? 行列式的定义 ? 行列式的性质 ? 克莱姆（Cramer）法则 主要内容： ? 行列式按行（列）展开 §1·1 行列式定义 用消元法解二元一次方程组： 一、 二阶和三阶行列式 分母为 的系数交叉相乘相减： 定义二阶行列式： 主对角线 元素 图示记忆法 例 用消元法解三元线性方程组： 可得 的分母为(若不为零）： 定义三阶行列式： ＋ － 图示记忆法 例 解 例 计算三阶行列式的例子： 对于数码 is 和 it ： 逆序数：一个排列中逆序的个数， 例 求 132 、436512 的逆序数 解 逆序数为偶数的排列称为偶排列， n 阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组 132 是奇排列， 436512 是偶排列。 但 312是偶排列， 634512、436521是奇排列。 （二） 排列与逆序数 大前小后叫逆序(反序) 记为： 为奇数的称为奇排列。 可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！ 分析表1-1 排列 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 逆 序 无 32 21 21，31 31，32 32，31，21 逆 序 数 0 1 1 2 2 3 奇偶性 偶 偶 偶 奇 奇 奇 ? 一个对换改变排列的奇偶性； ? 3!个排列中，奇、偶排列各占一半。 定理1 对换改变排列的奇偶性。 证 （1）设元素 i,j 相邻： ? 若 ij , 则新排列增加一个逆序; ? 若 ij , 则新排列减少一个逆序。 — 改变了奇偶性 （2）设元素 i,j 不相邻： 共作了2s+1次相邻对换， 由（1）知，排列改变了奇偶性。 定理2 n 个数码构成 n! 个n 级排列， 奇偶排列各占一半（ n!/2 个）。 证 设有p 个奇排列，q 个偶排列， p 个奇排列 p 个偶排列 q 个偶排列 q 个奇排列 （三） n 阶行列式定义 2 阶： 3 阶： n 阶： 1 阶： 几种特殊行列式： 例 解 由定义， 只有 左下三角形行列式 右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9) 类似可得： 特别： 对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10) O O 例 的一般项还可记为 一般形式 列标按自然顺序排列 n阶行列式的另外两种表示(证明略）： 例 下列元素之积是否为四阶行列式的项？ 否，因为第二行有两个元素； 是，因为四个元素取自不同行不同列， 例 解 §1.2 行列式的性质 复习： 定义： 的转置行列式 行变列，列变行 例 证 D的一般项： 它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的转置中位于不同的列不同的行．所以这n个元素的乘积在Ｄ的转置中应为 性质1 所以 由此性质也知：行具有的性质．列也同样具有． 性质2 交换行列式的两行（列）, 行列式反号。 证 D的一般项： 交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换， 即行标排列中，i和s作了对换， 改变了排列的奇偶性，故反号。 推论： n 阶行列式某两行（列）对应元素全相等， 则行列式等于零。 证 性质3 证 记左边的行列式为D1,有 注： 该性质对列也成立。 推论： n 阶行列式某两行（列）对应元成比例， 则行列式等于零。 证 提出比例系数后，行列式有两