线性系统的根轨迹法汇编.ppt

三、动态性能指标的分析 阶跃响应有超调 所有特征根位于左半s平面，且至少有一对根轨迹在复平面左半平面上，则系统的瞬态响应过程产生超调，系统的动态性能指标主要有调节时间、超调量、峰值时间等。 近似的估算可以采用闭环主导极点的位置来确定。 若闭环主导极点为一对共轭复数极点，如图所示： ωd -ξωn β σ jω 0 s1 s2 -ωd ωn ωn —闭环极点的张角 特征根离虚轴越近， 动态性能与复数极点的关系 1）等超调量线 β σ jω 0 s1 阻尼比相同的复数极点位于同一对射线上。这样的射线称为等ζ线，或等超调量线。 闭环极点与负实轴的夹角β反映了系统的超调量。 特征根离虚轴越近， 反之则反，所以有 σl%＞σ2%。 z b = cos 2）等调节时间线 σ jω 0 s1 若特征根的实部相同，则调节时间相同。 实部相同的特征根，位于同一条垂线上，这样的垂线称为等调节时间线。 调节时间与特征根实部的绝对值成反比，所以有ts1＜ts2。 s2 3）等峰值时间线 若特征根的虚部相同，则峰值时间相同。 虚部相同的特征根位于同一条水平线上，这样的水平线称为等峰值时间线。 特征根虚部的绝对值与峰值时间成反比，所以有tp1＜tp2。 σ jω 0 s1 s2 例：画出满足性能指标要求的标准二阶系统特征根在s平面的范围。 要求： σ jω 0 s1 解(1)由 (2)由 (3)由 （1）闭环复数极点的实部ζωn反映了 系统的调整时间； （2）闭环极点的虚部ωd表征了系统输 出响应的振荡频率； （3）闭环极点与坐标原点的距离ωn表 征了系统的无阻尼自然振荡频率； 当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。 四、已知性能指标确定闭环极点和Kg 采用根轨迹法分析系统性能，有时需要根据性能指标的要求，来确定闭环极点的位置和对应的Kg值，使得系统满足性能指标的要求。 要求 ξ=0.5 ，试确定闭环极点和对应的Kg。 例 已知单位反馈系统的开环传递函数: 系统的根轨迹图如图: 解： σ jω 0 -p1 -p2 -p3 -1 -2 -s1 -s2 作张角 的射线 与根轨迹的交点为-s1和-s2 要求 σ jω 0 -p1 -p2 -p3 -1 -2 -s1 -s2 令 将s1代入相角条件得： 将s1代入幅值条件得： 由 同理可得： σ jω 0 -p1 -p2 -p3 -1 -2 -s3 -s1 -s2 系统的特征方程为： 因式分解可得： 展开： （负的开环极点之积） 可得系统的传递函数为： 由： σ jω 0 -p1 -p2 -p3 -1 -2 -s3 -s1 -s2 五、增加开环零极点对系统性能的影响 由以上分析知，闭环特征根应该位于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的距离，才能满足系统的稳定性和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。 （1）设二阶系统的开环传递函数为 1. 增加开环零点 系统的根轨迹图如图: σ jω 0 -p1 -p2 -1 不管怎么选择kg 闭环极点离虚轴的距离都太近,影响系统的快速性. -z1 -2 -s β -ξωn 增加一个零点: 系统的根轨迹图为: 零点使根轨迹向左弯曲，选择适当kg值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离. 又可使β角较小，以降低超调量。 增加合适的零点,可以减小超调量和调整时间，改善系统的稳定性和快速性。 如果零点选择不合适，效果就完全不一样。设： 系统的根轨迹图如图: σ jω 0 -p1 -z1 -0.5 -p2 -1 不管怎么选择kg，闭环极点总为两个实数极点。主导极点离虚轴的距离在0～0.5之间，系统的调节时间不可能缩短。 （2）设三阶系统的开环传递函数为 系统的根轨迹图如图: σ jω 0 p1 p2 p3 -5 增加零点后: z1 -2 系统的根轨迹图: 加了零点后根轨迹的渐近线位于s左半平面， 系统由不稳定变成稳定。 如果增加零点后: 系统的根轨迹图: z1 -10 p1 p2 p3 -5 0 σ jω 根轨迹的渐近线位于S右半平面，系统仍然不稳定. 2．增加开环极