通项公式、前n项和、等差等比判断证明的求法小结强烈推荐详解.doc

数列通项公式、求和、判断或证明的常见方法 A数列通项公式的求法 一、等差数列公式、等比数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式； 的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 例2.（2011重庆理）设是公比为正数的等比数列，，。 （Ⅰ）求的通项公式 解：I）设q为等比数列的公比，则由， 即，解得（舍去），因此 所以的通项为 （2）定义法：先形成等差或等比，再代入公式 例3 首项为公差为的等差数列， 例4 解： 是以首项为2公差为2的等差数列， 二、形如 若已知数列的前项和的表达式，求数列的通项可用公式 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的中当n=1适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式。 的前n项和，求的通项公式。 解：，当时 由于不适合于此等式 。 ∴ 三累加法 形如： 例6、 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：（1）由题知： ， ….. 将以上n-1个式累加 四累乘法 形如“已知a1，且=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式 例7、在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。 解：由(n+1)·=n·得， =··…= 所以 五、构造：1、待定系数构造形如 (k、b为常数）型，可化为的形式an +λ=k(an-1 +λ).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求。 例8 公差为3首项为3数列为等比数列， 例9 数列为等比数列，公差为4首项为4，， 2、倒数法 一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 例10.已知数列满足：，求的通项公式。 解：原式两边取倒数得：，首项为1，公差为3的等差数列 即 例11、（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）在数列{}中，，并且对任意都有成立，令． 求数列{}的通项公式 ；解：（1）当n=1时，,当时， 由得所以 所以数列是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列的通项公式为和的递推关系涉及到高次时，形如：anp = man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。 例12、（2006山东）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； 解：（1）由已知， ，两边取对数得， 即是公比为2的等比数列. 例13、若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）. 解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即. 4除积构造:形如形如 例14 数列首项为3公差为3的等差数列，， 5除乘方构造形如（q,m为非零常数） 例15 数列首项为2公差为2的等差数列，， 六 作差法：当题中给出的是Sn 和的关系时，我们一般通过作差法结合an = Sn－Sn－1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到和an+1的递推关系，或消掉得到Sn 和Sn－1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。 例16、（2007湖北理19）已知数列的前项和为，且满足：， N*，． （Ⅰ）求数列的通项公式； 解：（I）由已知可得，两式相减可得 即 又所以r=0时， 数列为：a，0，…，0，…； 当时，由已知（）， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 例17：（2007重庆理）已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 （1）求{}的通项公式； 解：由，解得a1＝1或a1＝2，由 a1＝S1＞1，因此a1＝2。 又由an+1＝Sn+1- Sn＝， 得an+1- an-3＝0或an+1＝-an 因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。 因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。 例18.（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．② ②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得， 数列是首项为，公差为的等比数列． ， 数列求和的基本方法和技巧 一、利用