概率论2_1教案.ppt

2.4 随机变量函数的分布 2.4.1 离散随机变量函数的分布 2.4.2 连续随机变量函数的分布 在实际问题中经常会遇到由随机变量为自变 量构成的函数，比如对某工厂生产的一批钢球进行检验，钢球的直径D是一随机变量，钢球的体积V是关于D的函数 ，我们希望通过直径D的分布情况了解体积V的分布情况。 问题 一般来讲，若X是一随机变量，Y是X的某函数Y=f(X)，由于Y的取值会随X的变化而变化，从而Y也是一个随机变量，也需要研究它的分布情况。 Y 的可能值为 即 0, 1, 4. 解 例14 故 Y 的分布律为 由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法. 2.4.1 离散随机变量函数的分布 Y 的分布律为 例1 设 解 课堂练习 设X的分布列为： 求下列各函数的分布列： 解 将 的分布列中两行对调可以算得下表： 的分布列： 的分布列： 的分布列： 第一步 先求Y= –2X+8 的分布函数 例2 解 2.4.2 连续随机变量函数的分布 第二步 由分布函数求概率密度. 例3 第一步 先求Y=aX 的分布函数 解 第二步 由分布函数求概率密度. 解 例4 再由分布函数求概率密度. 当 Y=2X+3 时,有 设连续型随机变量X的概率密度为 ，求Y的概率密度。 为单调函数，反函数为 且 ，由定理可得 的 密度函数为 。 解 例5 证明 X 的概率密度为 例6 由例5得 对数正态分布： 对数正态分布的应用 绝缘材料的寿命 服从对数正态分布 设备故障的维修时间 服从对数正态分布 家中仅有两个小孩的年龄差 服从对数正态分布 指数分布的重要性质 :“无记忆性”. 证明指数分布的无记忆性 上式表明：如已知寿命长于s年，则再活t年的概率与年龄s无关，即指数分布是永远年轻的。 课堂练习 某元件寿命服从参数为?=1/1000的指数分布，3个这样的元件使用1000小时后都没有损坏的概率是多少？ 各元件寿命相互独立 3个元件使用1000小时后都未损坏的概率为 e-3≈0.005 解 参数为?=1/1000的指数分布的分布函数为 2.3.3. 正态分布(或高斯分布) Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。有“数学王子的美誉”。 高斯 高斯是一对普通夫妇的儿子。父亲不支持他从事数学或科学研究，在他母亲和一贵族的资助下求学。 1801年，关于谷神星位置的研究问题吸引了高斯的注意，在该问题的研究中，1809年，高斯用正态分布描述误差的分布，并给出了最小二乘法。 正态概率密度函数的几何特征 正态分布的分布函数 正态分布是最常见最重要的一种分布：例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量、高度等。 正态分布的应用与背景 一般说来，如影响某一随机变量的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个变量服从正态分布。 许多分布可用正态分布来近似，另外许多分布可以通过正态分布导出，因此在理论研究中，正态分布十分重要。 正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数 方法一:利用有关的统计或数学软件计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 标准正态分布的图形 例8 证明 证明 解 例9 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 标准正态分布的3?准则 证明 一般正态分布的3?准则 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 区间内。 解 例10 例11 解 (1) 所求概率为 解 例12 假设某种电池寿命（单位：小时）为一随机变量，它服从参数为300和352的正态分布，计算 (1)这种电池寿命在250小时以上的概率； (2)确定数字x(x0),使电池寿命落在区间[300-x,300+x]内的概率不低于90%。 解 设电池的寿命为X ,则 例13 利用分布函数的单调不减性，查表可得： 电池寿命落在区间[242.5,357.5]内的概率不低于90%。 课堂练习 设某城市成年男子的身高X~N(170.62)，求