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我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
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能力素质
例1 已知p:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,q:x1+x2=-5,则p是q的
[ ]
A.充分但不必要条件 B
C.充要条件 D
分析 利用韦达定理转换.
解 ∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,
∴x1,x2的值分别为1,-6,
∴x1+x2=1-6=-5.
因此选A.
说明:判断命题为假命题可以通过举反例.
例2 p是q的充要条件的是
[ ]
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有惟一解
分析 逐个验证命题是否等价.
解 对A.p:x>1,q:x<1,所以,p是q的既不充分也不必要条件;
对B.pq但qp,p是q的充分非必要条件;
对C.pq且qp,p是q的必要非充分条件;
说明:当a=0时,ax=0有无数个解.
例3 若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的
[ ]
A.充分条件 B
C.充要条件 D
分析 通过B、C作为桥梁联系A、D.
解 ∵A是B的充分条件,∴AB①
∵D是C成立的必要条件,∴CD②
由①③得AC④
由②④得AD.
∴D是A成立的必要条件.选B.
说明:要注意利用推出符号的传递性.
例4 设命题甲为:0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的
[ ]
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D
分析 先解不等式再判定.
解 解不等式|x-2|<3得-1<x<5.
∵0<x<5-1<x<5,但-1<x<50<x<5
∴甲是乙的充分不必要条件,选A.
说明:一般情况下,如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.
当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件.
例5 设A、B、C三个集合,为使A(B∪C),条件AB是
[ ]
A.充分条件 B
C.充要条件 D
分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图.
∴A(B∪C).
但是,当B=N,C=R,A=Z时,
显然A(B∪C),但AB不成立,
综上所述:“AB”“A(B∪C)”,而
“A(B∪C)”“AB”.
即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要).选A.
说明:画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况.
例6 给出下列各组条件:
(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;
(2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|;
(3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;
(4)p:|x-1|>2,q:x<-1.
其中p是q的充要条件的有
[ ]
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
分析 使用方程理论和不等式性质.
解 (1)p是q的必要条件
(2)p是q充要条件
(3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件.选A.
说明:ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零.
分析 将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.
点击思维
例8 已知真命题“a≥bc>d”和“a<be≤f”,则“c≤d”是“e≤f”的________条件.
分析 ∵a≥bc>d(原命题),
∴c≤da<b(逆否命题).
而a<be≤f,
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件.
答 填写“充分”.
说明:充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.
例9 ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A.0<a≤1 Ba<1
C.a≤1 D.0<a≤1或a<0
分析 此题若采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排除法解之.当a=1时,方程有负根x=-1,当a=0时,x=
当a≠0时
综上所述a≤1.
即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
说明:特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.
例10 已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件?
分析 画出关系图1-21,观察求解.
解 s是q的充要条件;(srq,qs)
r是q的充要条件;(rq,qsr)
p是q的必要条件;(qsrp)
说明:图可以画的随意一些,关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.
例11 关于x的不等式
分析 化简A和B,结合数轴,构造不等式(组),求出a.
解 A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}
B=
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