Kxuscl高一数学典型例题分析同角三角函数的基本关系式.docVIP

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。－－泰戈尔 ? 1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值． 解? ∵sinα＜0 ∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上) (2)若α在第四象限，则 说明? 在解决此类问题时，要注意： (1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号． (2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)． (3)必要时进行讨论． 例2? 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值． (2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义． (3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0． 当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0， 说明? (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况． (2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？ 2．三角函数式的化简 三角函数式的化简的结果应满足下述要求： (1)函数种类尽可能地少． (2)次数尽可能地低． (3)项数尽可能地少． (4)尽可能地不含分母． (5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来． 化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简． 例3? 化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα =secα·cscα 解2? 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα) =tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α) =tgα+ctgα =secα·cscα 说明? (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的． (2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用． 例4? 化简： 分析? 将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简． 3．三角恒等式的证明 证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始． 例5? 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα． 分析? 从复杂的左边开始证得右边． =2cosα-3tgα=右边 例6? 证明恒等式 (1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α (2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2 分析? (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简 证明? (1)右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1 =(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1 =(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1 =(sec2α-tg2α)2-1=0 ∴等式成立． =sin2A+cos2A=1故原式成立 在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用． 分析1? 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类． 分析2? 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的． 说明? (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类． (2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列． =secα+tgα ∴等式成立 说明? 以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2α-tg2α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0” ∴左边=右边