中国矿业大学[徐州]03级数学分析试题[A卷].docVIP

数学分析(I) (答题时间120分钟) 班级__________姓名__________序号__________成绩__________ 一、计算下列各题（共7题每题8分共56分） 1．设，求。（提示：可利用结论，其中为常数）使可导并求出。（提示：分，和三种情况先求出极限） 3. 求 4． 求 5． 求（）。（提示：可转化为定积分） 6． 求。（提示：可使用Taylor公式） 7． 求。（提示：可作换元） 二（10分） 设在区间上有界，记，证明 三（10分） 设为上的非负连续函数，证明：如果，则。 四（12分） 设在上可导，且 证明，使。 五（12分） 用有限覆盖定理证明：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。 附加题（仅作参考） 设在上连续，且对任一上满足的连续函数均有，证明。 数学分析(I)试题参考答案 一、计算下列各题（共7题每题8分共56分） 1． 设，求。（提示：可利用结论，其中为常数）满足，由知，，当时， 从而 上式两边取极限并利用结论(为常数)和迫敛性得 2． 确定使可导并求出。（提示：分，和三种情况先求出极限） 【解】易求得 首先连续： 其导函数 ，又 由于导数极限定理：，令 此时（也可由导数的定义做） ， 3. 求 【解】当时， 当时， 由的连续性可得，，这样 （为任意常数） 4． 求 【解】(下面用到等价无穷小和L’Hospital法则等) 5． 求（）。（提示：可转化为定积分） 【解】当时，显然原式 当时，原式 综上 原式 6． 求。（提示：可使用Taylor公式） 【解】由Taylor公式，， 从而，，原式 7． 求。（提示：可作换元） 【解】 。从而 二（10分） 设在区间上有界，记，证明 【证】只证的情况，否则为常数结论显然成立。 一方面，由，知（），说明是的一个上界。另一方面，由，知（不妨），使，。从而 综上两个方面，由确界的定义得。 三（10分） 设为上的非负连续函数，证明：如果，则。 【证】反证。不妨假设。 由连续函数的性质，存在，当时，有 从而 这与矛盾。得证。 四（12分） 在上可导，且 使。 【证】令，则。由积分中值定理，存在使 再由条件知。对在上用Rolle中值定理得： 五（12分） 用有限覆盖定理证明：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。 【证明详见教材，此略】 附加题（仅作参考） 设在上连续，且对任一上满足的连续函数均有，证明。 【证】（反证）假设，不妨设在点，。由的连续性，有邻域，当时。作函数如下图，它满足题中条件 。矛盾。 备选题 1. 求（提示：） 【解】 而 （这里 ） 又 综上， 2. 设在区间上定义，记 证明在区间上一致连续的充要条件是。 【证】（必要性）设在区间上一致连续，即对，，对，只要，就有。因此 故当时，有，由定义得 （充分性）设，因此对，，使 从而当时，有 这说明在区间上一致连续。 3. 设是上的连续增函数， 试证明也是上的增函数。 【证】当时，由 （以上用到了积分中值定理）知在上增，又 (这里用了洛必达法则) 知在点连续，从而在上增。 中国矿业大学数学系2003级本科考试试卷 2004.1.7. 第11页 (共12页)