八年度级数学寒假专题5勾股定理华东师大版.docVIP

初二数学寒假专题——勾股定理华东师大版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题——勾股定理 1. 勾股定理及其逆定理的概念； 2. 勾股定理及其逆定理的实际应用； 3. 解有关勾股定理的题型时常用的辅助线和数学思想方法. 二. 重点、难点： 1. 重点： ⑴勾股定理及其逆定理的概念; ⑵勾股定理及其逆定理的实际应用.[来源:学科网ZXXK] 2. 难点： ⑴勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别; ⑵解有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法. 三. 知识梳理： 1. 勾股定理及其逆定理的概念 ⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和. 例如：①如图所示，在等腰△ABC中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上的高. ②如图所示，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB上的高. 解：①作AH⊥BC ∵AB＝AC＝13，AH⊥BC ②∵AC＝4，BC＝3 ∵5HC＝3×4 ⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角. 例如：①如图所示，在△ABC中，三条边之比为9：12：15，那么此三角形为何三角形？ ②如图所示，在△ABC中，若，，那么此三角形为何三角形？ 解：① ∴设 ∴此三角形是Rt△. ②证： ∴此三角形是Rt△. 注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别： 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关. 2. 勾股定理的证明方法介绍 勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏. （1）赵爽的拼图法 我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美. 如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下： 因为正方形边长为，所以正方形的面积为. 又因为正方形的面积＝， 所以有. （2）旋转面积法 如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A＇B＇C＇D的位置，D点不动.若设AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为： . 所以有：＝. 化简为：，即. [来源:Zxxk.Com] （3）美国第20任总统的拼图面积法 加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝. 因为， . 即＝即. 3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法 ⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形. ⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想. 4. 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题. 【典型例题】 例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积. 分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解. 解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2＋（4x）2＝202 化简得x2＝16；[来源:学科网ZXXK] ∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96 例2. 如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______. 分析： 注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解. 解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2). 例3. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积. 分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可