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层次分析法在数学建模中的应用 摘要：人们在生活中处理一些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是 一个共同的特点是它们通常都涉及到经济 、社会、 人文等方面的因素。在作比较、 判断 、 评价、 决策时，这些因素的重要性 影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起 着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。这是就有人提出 了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法，这是一种定性和定量相结 合的、系统化、层次化的分析方法。以及在对层次分析法的引入基础之上，建立层次分析模 型，并给出了层次分析的求解过程，以及在现实生活中的应用。 关键词：层次分析法；成对比较矩阵；权向量；一致性指标；一致性比率 一． 问题的提出：人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：请朋友吃饭要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游和科研成果的评价。诸如此类问题面临抉择，就要慎重考虑，反复比较，尽可能满意的决策。 然而人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及经济社会和人文等方面的因素。在做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用。T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（简称AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。 二． 层次分析法的基本步骤 1.将决策问题分解为三个层次。最上层为目标层，最下层为方案层，中间层为准则层。 2.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思想过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。 3.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。 三． 构造成对比较阵、计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验。 1.成对比较矩阵和权向量 所有因素两两相互对比，对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互对比的困难，提高准确度。 假设要比较某一层n个因素对上层一个因素O的影响，每次取两个因素和。用表示和对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵。 A=(),0, =1/﹙由于此式给出的的特点，A称为正互反矩阵，=1﹚ 一般地，如果一个正互反矩阵A满足=。ijk=1,2n;则称A为一致阵，证明n阶一致阵A有下列性质。 ① A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 ② A的任一列向量都是特征根n的特征向量。 权向量：如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n的归一化的特征向量。（即分量和为1）表示诸因素对上层因素O的权重。此向量称为权向量。记，作为权向量即满足A=。 通常在层次分析法的应用中都会采用1-9尺度即比较尺度。（如下表1所示） 尺度 含义 1 3 5 7 9 2 4 6 8 1，1/2，1/9 与的影响相同 比的影响稍强 比的影响强 比的影响明显的强 比的影响绝对的强 与的影响之比在上述两个相邻等级之间 与的影响之比为上面的互反数 （表1） 2 一致性检验 n阶正互反矩阵A的最大特征根为n，且（此为一致阵时）n阶正互反矩阵A的最大特征根是≥n，而当=n时是一致阵。 CI=-n/n-1此为一致性指标，（CI=0时A为一致阵）CI越大A不一致程度越严重。 为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的不一致性指标CI的标准，则需要引入随机一致性指标RI。（可以参考随机性一直性指标RI的数值） RI的计算过程为：对于固定的n，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标CI。 将成对比较阵A（n≥3）的一致性指标CI与同阶的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。当CR0.1时认为A的不一致程度在容许范围之内。（即一致性检验通过） 3 组合权向量 计算个方案对目标的权向量，称为组合权向量。相类似于以上的方法做一致性检验。 =∕0.1 (R=34s)； 四 实例分析 1 科研成果评价的层次结构模型 通过对围绕科研成果评价的相关问题作深入分析，我们将影响科研成果评价的主要因素