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第八章 第十节 圆锥曲线的综合问题（理） 题组一 直线和圆锥曲线的位置关系问题 1.若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　) A．至多一个 B．2个C．1个 D．0个 解析：由直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点得2，m2＋n24，点(m，n)表示的区域在椭圆＋＝1的内部，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2个． 答案：B 2．抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有(　　) A．0个 B．1个C．2个 D．4个 解析：由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．答案：C 3．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4＝________. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去x得y2－2mpy＋2pm＝0， ∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm， (y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4p2m2－8pm. 又焦点在x－my＋m＝0上，∴p＝－2m， ∴|y1－y2|＝4， ∴S△OAB＝×|y1－y2|＝2， －m＝，平方得m6＋m4＝2. 答案：2 题组二 直线与圆锥曲线相交中的弦长问题 4.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A. B. C. D. 解析：过A、B作l的垂线，垂足分别为A1、B1， 由，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|BF|＝|AF|， ∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．从而yA＝2yB，联立方程组消去x得： y2－y＋16＝0，∴ ?消去yB得k＝. 答案：D 5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　) A．3 B．4C．3 D．4 解析：设直线AB的方程为y＝x＋b， 由x2＋x＋b－3＝0x1＋x2＝－1， 得AB的中点M(－，－＋b)， 又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1， ∴x2＋x－2＝0， 则|AB|＝＝3. 答案：C 6．(2008·全国卷Ⅱ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA||FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． 解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1. x2－6x＋1＝0x＝3±2. ∵|FA||FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为3＋2，B点的横坐标为3－2. ＝＝＝＝＝3＋2. 答案：3＋2 题组三 最值与取值范围问题 7.(2009·银川模拟)已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5) 解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点， 只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴≤1， 又m0且m≠5，∴m≥1且m≠5. 答案：C 8．已知双曲线－＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________． 解析：设∠F1PF2＝θ，由 得 ∴cosθ＝＝－e2. ∵cosθ∈[－1,1)，∴1＜e≤. 答案： 题组四 综 合 问 题 9.已知动圆过定点(2,0)，且与直线x＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C的方程； (2)是否存在直线l，使l过点(0,2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足·＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)如图，设M为动圆圆心，F(2，0)，过点M作直线x＝－2的垂线，垂足为N， 由题意知：|MF|＝|MN|，即动点M到定点F与到定直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x＝－2为准线， 所以动圆圆心轨迹C的方程为y2＝8x. (2)由题可设直线l的方程为x＝k(y－2)(k≠0)， 由，得y2－8ky＋16k＝0， Δ＝(－8k)2－4×16k0，解得k0或k1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y1＋y2＝8k，y1y2＝16k， 由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0