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第七章 非线性控制系统分析 一、主要内容 （1）（2）3）二、基本要求 （1） （2） 三、内容提要 1、来表示。 （2）描述函数的应用条件 ①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节和一个线性环节串联的闭环结构。 ②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。 ③系统的线性部分具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。 （3）描述函数的求法 描述函数求解的一般步骤是： ①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的的数学表达式。 ②利用傅氏级数求出的基波分量。 ③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数。 （4）组合非线性特性的描述函数 ①非线性特性的并联 若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。 ②非线性环节的串联 两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。 3、描述函数法 （1）非线性系统的稳定性 非线性系统结构中，非线性部分可以用描述函数表示，线性部分则用频率特性表示。 利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是： ①若曲线不包围曲线，则非线性系统是稳定的； ②若曲线包围曲线，则非线性系统是不稳定的； ③若曲线与曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。 （2）自激振荡的分析与计算 ①自激振荡条件 ②自激振荡的稳定性 判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值增大的方向沿曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值增大的方向沿曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。 ③自激振荡的计算 对于稳定的自激振荡，其振幅和频率的计算方法是：振幅可由曲线的自变量来确定，振荡频率由曲线的自变量来确定。 7.1 引言 对于非线性系统，描述其运动状态的数学模型是非线性方程，它与线性系统的最大差别是不能使用叠加原理。 一、非线性系统的特点 非线性系统与线性系统相比，在数学模型、稳定性、平衡状态、频率响应、时间响应等许多方法均存在显著的差别，非线性系统具有线性系统所没有的许多特点，其主要体现在以下几个方面： （1）数学模型 叠加原理无法应用于非线性微分方程中。 （2）稳定性 非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。研究非线性系统的稳定性，必须明确两点：一是指明给定系统的初始状态，二是指明相对于哪一个平衡状态来分析稳定性。 （3）系统的零输入响应 线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态无关，换句话讲，线性系统在某一初始状态下的零输入响应是单调收敛的，则在其它初始状态下的零输入响应形式仍为单调收敛，不可能是其它形式（如振荡、发散等）。 而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。当初始状态不同时，同一个非线性系统可有不同的零输入响应形式。 （4）自激振荡或极限环 有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。如果非线性有一个稳定的极限环，则它的振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。 二、非线性系统的研究方法 目前工程上常用的分析非线性系统的方法有描述函数法、相平面法，以及分析非线性系统稳定性的更一般的方法，即李雅普诺夫直接法。当然，近几年发展起来的一些非线性系统分析法有：神经网络、分形理论、专家系统等等。 三、典型非线性特性 （1）饱和特性 饱和非线性特性的数学描述 ?饱和非线性特性的特点是：当输入信号较小时，工作在线性区域；当输入信号较大时，输出呈饱和状态。 （2）死区特性 死区非线性特性的数学描述 死区非线性出现在一些对小信号不灵敏的装置中， 如测量元件、执行机构等。其特点是：当输入信号较小时，无输出信号；当信号大于死区后，输出信号才随着输入信号变化。 死区非线性对系统性能的主要影响是： （3）滞环特性 滞环非线性也称为间隙非线性，其数学描述为 滞环非线性主要存在于机械加工设备由于装配带来的间隙，其特性是：当输入信号较小时，输出为零；当输入信号大于a时，输出呈线性变化；当输入信号反向时，输出保持不变，直到输入小于-a时，输出才又呈线性变化。 （4）继电器特性 继电器非线性有双位继电器特性、具有死区的继电器特性、具有滞环的继电器特性、具有死区和滞环继电器特性。 7.2 描述函数 非线性系统的描述函数表示，是线性部分频率特性表示法的一种推广。该方法首先通过描述函数将非线性特性线性化，然后应用线性系