【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习第七章数列、推理与证明第42课数列的求和文范例.doc

第42课 数列的求和 (本课时对应学生用书第　　页自主学习　回归教材 必修例改编数列，，，，的前项和为　　　　　　　　　【答案】【解析】（）必修练习改编求和：　　　　【答案】【解析】，所以必修复习题改编已知数列的通项公式为，那么数列的前项和为　　　　【答案】必修复习题改编数列 的前项和　　　　【答案】 【解析】，必修复习题改编数列的前项和　　　　【答案】【解析】由，得　①， 　②， 由①-②，得所以常用的一般数列的求和方法 公式法：若可以判断出所求数列是等差或等比数列，则可以直接利用公式进行求和若数列不是等差数列，也不是等比数列，有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和分组转化法：把数列的每一项拆成两项的差或和，或把数列的项重新组合，使其转化为等差或等比数列裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差或和，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前项和变成首尾两项或少数几项的和差倒序相加法：把中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的相加这种方法体现了补的思想，等差数列的前项和公式就是用它推导出来的事实上，如果一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来，那么这样的数列就可以用倒序相加法求和错位相减法：数列的求和问题应用此法，其中是等差数列，是等比数列几种常见类型的处理 形如的形式 方法：分组求和法形如或等形式 方法：采用裂项相消法形如的形式其中为等差数列，为等比数列方法：采用错位相减法首尾对称的两项和为定值的形式 方法：倒序相加法正负交替出现的数列形式 方法：并项相加法 【要点导学】 要点导学　各个击破 　利用分组转化法求和 例　已知数列的前项和，∈N*. (1)求数列的通项公式； 设，求数列的前项和【思维引导】由求，需利用，最后要注意验证第一项是否符合公式；由可知为与两数列之和，故采用分组求和的方法求解【解答】当时，； 当时，，符合上式所以数列的通项公式为由得， 记数列的前项和为，则 【精要点评】本题中是由一个摆动数列、一个等比数列相加而成，适用于分组求和，当一个数列是由两个不同类型的数列相加而成时，我们将它们分组、分别求和变式　福建卷在等差数列中，已知，求数列的通项公式； 设，求的值【解答】设等差数列的公差为由已知得解得 所以由可得， 所以例　苏州暑假调查设数列的前项和为，对任意的∈N*满足，且求数列的通项公式； 设求数列的前项和【解答】因为，　① 所以当时，　② ①-②得， 即若， 当时，有， 又当时，由及，得， 所以数列是等差数列，其通项公式为∈N*). 若，综上，数列的通项公式为或当时，所以当时，所以综上，或【精要点评】由求时，首先求出，再由求，但这样求得的是从第项开始的，未必是数列的通项公式，所以必须验证是否适合，若适合，则写成∈N*)，否则，则用分段函数的形式表示为　利用倒序相加法求和 例　设，，，是函数的图象上的任意两点当时，求的值； 设，其中∈N*，求【思维引导】熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变换是对数的计算、化简、证明的常用技巧；若前后项的和相加为定值，则采用倒序相加法求数列的和，其基本思想和等差数列的前项和相类似【解答】因为，∈(0，，且， 所以因为， 所以因为，　① ，　② ①②得， 所以，解得【精要点评】倒序相加源于等差数列的前项和公式的推导过程，广泛运用于函数中求和一般地，这类函数是中心对称函数，本题中，的图象关于对称　利用裂项相消法求和 例　全国卷设等差数列的前项和为，已知，求数列的通项公式； 设，求数列的前项和【思维引导】先用数列第项与前项和的关系求出数列的递推公式，可以判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列的通项公式；由可得数列的通项公式，再用裂项相消法求其前项和【解答】当时，， 因为，所以当时，，即， 因为，所以， 所以数列是首项为、公差为的等差数列， 所以由知， ， 所以数列的前项和为【精要点评】观测数列的形式，看使用什么方法求和方便使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的　利用错位相减法求和 例　湖北卷设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为已知，，，求数列，的通项公式； 当时，记，求数列的前项和【思维引导】一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解【解答】由题意得， 即 解得或 故或由，知，，故， 于是，　① ，　② ②可得，所以【精要点评】错位相减法在近年高考中多个省份进行了考查运用时，要注意如何错位，注意同次项的对应本质上错位相减是将问题向等比数列转化的过程变式　浙江卷已知数列和满足，，∈N*)，∈N*). (1)求