尺规作图角平分线范例.doc

尺规作图 作一个角等于已知角的方法 已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB. 作法： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； 2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； 4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使 A′ B′=AB , B′C′=BC，C′A′ =CA. 作法： 画一个△A′B′C′ ，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A′; (3)连接线段A′B′，A′C′. 角的平分线 导入： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看. 角的平分线的画法 图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？ 作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图). 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS”． 拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线． 注意： “大于 MN的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交． 如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ ∠AOB. 角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，点P 画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取 几个点试一试. 通过以上测量，你发现了 角的平分线的什么性质？ 1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 要点精析： (1)点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度； (3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等． 2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB， PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于 点E, ∴PD＝PE. 例1、如图, ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA, PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE. 证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO, ∠AOC=∠BOC, OP=OP, ∴△PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF. 导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的 △BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得． 1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA 和OB 的距离相等. 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝ 6 cm，则△DBE的周长是(　　) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________． 总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交OC于点F. (1)角的相等关系： ①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF； ②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠D