洛伦兹变换范例.doc

洛伦兹变换 ?? 洛伦兹变换 由于爱因斯坦提出的假说否定了伽利略变换，因此需要寻找一个满足相对论基本原理的变换式。爱因斯坦导出了这个变换式，一般称它为洛伦兹变换式。 　　洛伦兹变换（Lorentz transformation）是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。 理论提出 　　19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。 　　由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。根据他的设想，观察者相对于以太以一定速度运动时，长度在运动方向上发生收缩，抵消了不同方向上由于光速差异，这样就解释了迈克耳孙-莫雷实验的零结果。 ?? ?? 狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标轴彼此平行 ，S′系相对于S系沿x方向运动 ，速度为v，且当t＝t′＝0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间 的洛伦兹变换为 x′＝γ（x－vt），y′＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／c2），式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c为真空中的光速 。不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。 　　在相对论以前，H.A.洛伦兹从存在绝对静止以太的观念出发，考虑物体运动发生收缩的物质过程得出洛伦兹变换 。在洛伦兹理论中，变换所引入的量仅仅看作是数学上的辅助手段，并不包含相对论的时空观。爱因斯坦与洛伦兹不同 ，以观察到的事实为依据，立足于两条基本原理：相对性原理和光速不变原理，着眼于修改运动、时间、空间等基本概念，重新导出洛伦兹变换，并赋予洛伦兹变换崭新的物理内容 。在狭义相对论中，洛伦兹变换是最基本的关系式，狭义相对论的运动学结论和时空性质，如同时性的相对性、长度收缩、时间延缓、速度变换公式、相对论多普勒效应等都可以从洛伦兹变换中直接得出。 洛伦兹变换的简明推导 事实一 　　相对性原理。物理定律在所有的惯性系（惯性系就是能让牛顿第一定律 ?? 狭义相对论 成立的参考系）中都是相同的。也就是说，不同惯性系的物理方程形式是相同的。比如，在低速条件下，牛顿三定律的公式在地球惯性系中是这样写的，在太阳惯性系中也是一样的写法 事实二 　　光速不变。在所有惯性系中，真空中的光速等于恒定值c。光速大小与参考系之间的相对运动无关，也与光源、观察者的运动无关 推导过程 　　现在根据这两个事实，推导坐标的变换式 　　设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S系，S系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动。任意一事件在S系、S系中的时空坐标分别为（x，y，z，t）、（x，y，z，t）。两惯性系重合时，分别开始计时 　　若x=0，则x+vt=0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从S系到S系的变换为 　　x=γ(x+vt) (1) 　　式中引入了常数γ，命名为洛伦兹因子 　　（由于这个变换是猜测的，显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性） 　　在此猜测上，引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S系的变换为 　　x=γ(x-vt) (2) 　　y与y、z与z的变换可以直接得出，即 　　y=y (3) 　　z=z (4) 　　把（2）代入（1），解t得 　　t=γt+(1-γ^2)x/γv (5) 　　在上面推导的基础上，引入光速不变原理，以寻求γ的取值 　　设想由重合的原点O（O）发出一束沿x轴正方向的光，设该光束的波前坐标为（X，Y，Z，T)、(X，Y，Z，T)。根据光速不变，有 　　X=cT (6) 　　X’=cT (7) 　　（1）（2）相乘得 　　xx=γ^2( xx-xvt+xvt-v^2*tt) (8) 　　以波前这一事件作为对象，则（8）写成 　　XX=γ^2(XX-XVT+XVT-V^2*TT) (9) 　　（6）（7）代入（9），化简得洛伦兹因子 　　γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2)