浅谈柯西不等式的应用和推广.docVIP

浅谈柯西不等式的应用及推广 【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value minimum value of function.Then Cauchy-inequalitys some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words】Cauchy-inequality,the maximum minimum value,inequation-teaching,func of triangles proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子基于此本文拟以柯西不等式为例从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳谈谈它在中学数学中的一些应用.对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧因此掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助 当且仅当时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当或时，不等式显然成立 令 ，当中至少有一个不为零时，可知A0 构造二次函数，展开得： 故的判别式 移项得，得证。 1.2 向量法证明 令.则对向量有，由，，得当且仅当，即平行时等号成立。 1.3 数学归纳法证明 i ) 当n=1时，有，不等式成立。 当n=2时， 因为，故有 当且仅当，即时等号成立。 ii）假设n=k时不等式成立，即 当且仅当时等号成立。 那么当n=k+1时， 当且仅当时等号成立， 即时等号成立。 于是n=k+1时不等式成立。 由i ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。 1.4 利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西—拉格朗日恒等式 由实数性质可得柯西不等式成立。 以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。 2 柯西不等式的推广 2.1 命题1 若级数收敛，则有不等式。 证明：收敛， 收敛，且 从而有不等式成立。 2.2 命题2[3] 若级数收敛，且对有，则对定义在上的任意连续函数有不等式 证明：因为函数在区间上连续，所以函数在上可积，将区间n等分，取每个小区间的左端点为，由定积分的定义得： 令，则收敛，由柯西不等式得 从而有不等式 。 2.3 赫尔德不等式[4] 设满足则：，等号成立的充分必要条件是 证明：首先证明时，对任何正数A及B，有. 对凹函数有： 令代入以上不等式并对于，把这n个不等式相加.即 成立。等号成立的充分必要条件是：即 3 柯西不等式的应用 我们知道不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用它在不同的领域有着不同的表现形式对的应用可谓灵活多样柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、性和统一性，若且求证：. 分析：要证明，即证： 只需证： 证明： 又因且故 即 例 2：已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式。 证明：由柯西不等式得： 于是。 又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于你，这样就有。 所以有。 因为 而 所以有。 例 3：设则证明： 证明：由柯西不等式，对于任意的n个实数有 即 于是 =。 3.2 利用柯西不等式求最值 例[5]已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3， 试求a的最值 解：由柯西不等式得，有 即由条件可得， 解得，当且仅当时等号成立， 代入时， 时， 3.3 求函数的极值 柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值。事实上，由可得 如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时，则可知的最大值与最小值分别是与且取最大值与最小值的充要条件是 反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数