矩阵多项式的质讨论毕业论文.docVIP

矩阵多项式的性质讨论 摘 要：本文系统总结了矩阵多项式的一些性质，且主要针对矩阵多项式的特征值、秩、逆矩阵求法和可逆性判别、迹的性质的探讨以及矩阵多项式在代数学中的应用。其中对于已有的结论则不予证明，同时本文也给出了一些重要的结论。 关键词： 矩阵多项式 特征多项式 最小多项式 特征值 秩 迹 Matrix to discuss the nature of polynomial Abstract: This article summarizes the matrix system polynomial some properties, mainly against Matrix and the characteristics of polynomials, rank, the matrix inverse discrimination law and reversible, track and investigate the nature of the matrix in polynomial The application of algebra. For the conclusions of which have not proved it, and this also gives a number of important conclusions. Key words: Matrix polynomial characteristic polynomial smallest trace polynomial characteristics rank envalue. 目 录 1 引言 3 2 矩阵多项式的基本性质 3 2.1矩阵多项式的特征值 3 2.2矩阵多项式的秩 5 2.3矩阵多项式可逆判定与求法总结 7 2.4矩阵多项式的迹 10 3 矩阵多项式性质的应用 13 3.1矩阵多项式成为恒等式的应用 13 3.2矩阵多项式在求变换矩阵中的应用 14 参考文献 18 谢 辞 19 1 引言 定义1：设是复数域的一个子域，记表示在上关于的所有多项式全体，记表示与的最大公因子(其中)。 定义2：记表示上阶矩阵构成的矩阵集合。取，记为的最小多项式（其次数），记为的特征多项式。表示的单位矩阵。 定义3：, 则称为的多项式，显然若为矩阵，则无意义。 定义4：，表示矩阵的秩，并把简计为。 下面一切符号从上，除非有特别说明 本文第一部分主要探讨的一些基本性质，第二部分则着重解决矩阵多项式在代数学中的应用。同时也给出本人的证明方法。 2 矩阵多项式的基本性质 矩阵多项式是矩阵分析中一个重要组成部分,也是控制论或系统工程的一个重要工具，它具有很多良好的性质，因此对矩阵多项式不同性质的讨论，可加深对矩阵理论的认识，使矩阵理论更具完备性。 2.1矩阵多项式的特征值 定理1 设B 且具有n个不同的特征值,是n个任意给定的复数，则存在多项式 …，使得是A=的特征值。 证明:设B且具有n个不同的特征值,构造线性方程组 则该方程组的系数行列式为范德蒙行列式的转置，且互不相同，从而系数行列式不为零,由克莱姆法则知，该方程组有唯一解 令 则的特征值是, 其中 … 定理2 设B且具有n个不同的特征值, ,,则相似于对角矩阵。 证明: 设B且具有n个不同的特征值为,则相似于对角矩阵,即存在n阶可逆矩阵,使得 从而: 即相似于对角矩阵 . 定理3 设B且具有n个不同的特征值，，若可逆，则的逆矩阵也是的多项式。 证明: 设B的特征值，则的特征值为，其中 由于可逆，故。的特征值为， 其中 ，由定理2，存在可逆矩阵， 使得 由定理1，存在多项式，使得特征值，，所以: , 即是的多项式。 定理4: 设是具有不同特征值的n阶方阵，，则相似于对角矩阵的充 必要条件是：，使得与=相似。 证明：（必要性）设相似于对角矩阵，的特征值为，由定理1知，存在多项式，使得=的特征值是，又由定理2知=相似于对角矩阵 ，而也与对角矩阵相似。由矩阵相似关系的传递性知：与相似。 （充分性） 设 与=相似，其中 ，由定理2知，与对角矩阵相似，由相似关系的传递性知，与对角矩阵也相似。 定理5：若是矩阵的特征值，则也为的特征值。 推论：若的特征值为，则的特征值为。 2.2矩阵多项式的秩 命题1 设n阶矩阵满足， 则. 命题2 设n阶矩阵满足， 则. 实际上，命