数学建模习题课1解读.docx

习 题 课一、初等模型与常用的建模方法1. 奇偶校验法 例1 在如图所示的方格纸上已填写1，9，8，6四个数字，问能否在余下的方格内各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列？ 9168 解 考察左下角格中所填之数，设为，由于所填方格中都为整数，且这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在. 例2 利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每个面又都有奇数条边的多面体”. 证 用反证法. 假设存在具有题设性质的多面体，它有个面数，各个面分别有条边，这里，均为奇数，从而 必为奇数. 另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多面体的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，因此在求得时，每一条棱都被重复地计算了一次，所以又应为偶数，于是产生了矛盾. 故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，且每个面又都有奇数条棱的多面体. 例3 已知多项式的系数都是整数，且为奇数. 证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证 用反证法. 假设满足条件“为奇数”的多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，则必有，其中都是整数.令代入上式，得； （1）令代入上式，得. （2）由条件“为奇数”知与必皆为奇数，进而知（2）式左端为奇数.另一方面，由(1)及为奇数立知必为奇数，因而（2）右端为偶数，于是产生了矛盾. 因此由奇偶校验法知满足条件“为奇数”的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.2. 席位分配问题例4 比利时的d’Hondt曾提出过如下一种席位分配方案：将甲、乙、丙三个系的人数都用1,2,3…去除，然后将商从大到小排列，取前21个最大的商数考虑，规定在这21个商中，各系占有几个就分配给几个席位。试通过数学建模探讨这种方法的合理性。解 以教材中甲、乙、丙三个系人数分别为103,63,34为例：系别 人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12甲 103 103 51.5 34.33 25.75 20.6 17.17 14.71 12.875 11.44 10.3 9.36 8.58 乙 63 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9 7.875 7 6.3丙 34 34 17 11.33 8.5 6.8从表中可以看出，按照比利时方法，在21个席位中甲占11席、乙占7席、丙占3席。说明：（1）此席位分配方案明显不合理； （2）此方法与Q值方法比较有明显的缺陷，特别是当上述商值相等或十分接近时难以排序。例5 某系共有1000名学生，其中235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。现要组成一个10人委员会，试用Q值方法与d’Hondt方法分别给出分配方案。 解 记各楼人数分别为 总人数人，席位 。 方法一（Q值方法） 先按百分数有取整后得第一次分配对第10个席位，按Q值计算由于最大，所以第10个席位应分配给C楼。 因此，A, B，C的分配席位分别为2，3，5， 共10席。 方法二（d’Hondt方法）1 2 3 4 5 6 7A 235 235117.5 78.33 58.75 47 39.17 33.57B 333 333166.5 111 83.25 66.6 55.6C 432 432 216 144 108 86.4 72 因此， A, B，C的分配席位分别为2，3，5，与Q值法的结果相同。3. 分析法建模例6 将四条腿长相等的长方形桌子放在起伏不平的地面上，如果地面是数学上的光滑曲面，问怎样才能将桌子放平稳？解 假定椅子中心不动, 四条腿的着地点A,B,C,D如图建立坐标系. 将椅子如图旋转到. 所谓着地，就是椅子与地面的距离等于零. 由于椅子位置不同, 椅脚与地面距离不同, 因而这个距离为的函数, 记 =“”，=“”.因地面光滑,连续; 又椅子在任何位置总有三条腿同时“着地”, 故至少有一个为0, 从而.不妨设，于是问题抽象成如下的数学问题：假设是的连续函数，，且，求证存在，使得.证 令, 则 将椅子旋转, 即将AB与CD互换,由知所以 由于在上连续,且, 故据