根轨迹绘制的基本准则(一)解读.ppt

* 4.2.1 180°等相角根轨迹的绘制规则 4.2.2 0°等相角根轨迹的绘制规则 4.2.3 参量根轨迹 4.2.4 关于180°和0°等相角根轨迹的几个问题 4.2 绘制根轨迹的基本规则（之一） 1、根轨迹的连续性： 闭环系统特征方程的某些系数是根轨迹增益 的函数。当 从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。 2、根轨迹的对称性： 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关，对于实际的控制系统来说，这些参数都是实数，具有实系数的闭环特征方程的根具有共轭复根（含实根）的形式，必然对称于实轴。而根轨迹是闭环特征根的集合，所以也对称于实轴。 用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐进线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 的180度根轨迹的性质。 4.2.1 180°等相角根轨迹的绘制规则--根轨迹的连续性和对称性 3、根轨迹的支数： 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在s平面上变化的轨迹。所以根轨迹的分支数必然与闭环特征方程的数目相等。根据根轨迹方程可写出系统的闭环特征方程如下所示 绘制根轨迹规则1： 根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等于系统开环零点和极点数目中的大者。 4.2.1 180°等相角根轨迹的绘制规则--根轨迹的支数和起始点 闭环特征方程根的数目就等于m和n中的大者，所以根轨迹的分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。 当 时，只有 时，上式才能成立。而 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。 4、根轨迹的起点和终点： 时闭环极点在s平面的位置为根轨迹的起点。 时闭环极点在s平面的位置为根轨迹的终点。 根轨迹方程为： 另写为： 当 时，① ，上式成立。 是开环传递函数有限值的零点，由m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若nm，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？ 我们把无穷远处的终点称无限开环零点。有限数值的开环零点称有限开环零点，那么可以说根轨迹必终止于开环零点处。从这个意义上说，开环零点数目与开环极点数目相等。 由根轨迹方程知：当 时 绘制根轨迹规则2： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 5.根轨迹的渐近线： 渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。 倾角：设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有的开环有限零点和极点到 的相角都相等，即为渐近线的倾角 。代入根轨迹的相角条件得： 约定：相角逆时针为正，顺时针为负。 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。 4.2.1 180°等相角根轨迹的绘制规则--根轨迹的渐进线 渐近线与实轴的交点 假设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有开环有限零点和极点到 的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点 而言，所有的开环有限零点 、极点 都汇集在一起，其位置为 ，这就是渐近线与实轴的交点。 幅值条件： 绘制根轨迹规则3：如果控制系统的开环极点数n和开环零点数m满足nm，则当根轨迹增益kg→+∞时，根轨迹的渐近线共有n-m条，这些渐近线在实轴上交于一点，其坐标是： 其倾角（与实轴的夹角）为： 由根轨迹方程可得： 式中 ， 4.2.1 180°等相角根轨迹的绘制规则--渐进线与实轴的交点，倾角推导方法二 当Kg→∞，由于mn，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为 两边开n-m次方 利用二项式定理 当 时， ，令 ， 设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可写为