1多项式.docx

第一章多项式一元多项式理论的主要内容可归纳为：（1）一般理论，包括数域P上的一元多项式环的概念、运算、导数及基本性质.（2）整除性理论，包括整除、最大公因式、互素的概念与性质.（3）因式分解理论，包括不可约多项式，因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定.（4）根的理论，包括多项式函数、多项式的根、代数学基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等.重点是整除与因式分解的理论，最基本的带余除法定理、最大公因式的存在表示定理、因式分解唯一性定理.难点是最大公因式的性质、多项式互素的性质、不可约多项式的概念及性质、有理系数多项式不可约性的判别.第一节 数域P上的一元多项式环一、基本内容1. 数域的定义， 基本数域.2.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.3．关于一元多项式的运算的基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(2) (3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、难点解析与重要结论l.多项式是代数学的基本研究对象之一，它与方程、线性空间、矩阵理论等都有联系，同时，还与将来进一步学习代数时遇到的环、有限域等有联系.多项式的因式分解问题是多项式的核心问题，多项式的因式分解与系数的取值范围有关, 例如，关于多项式, 看成有理系数、实系数或复系数多项式, 它们的因式分解情况各不相同. 数域的引入使得我们可以更为一般地讨论多项式的因式分解.2.多项式中的“”是一个符号(教材称之为文字), 它可以是未知数，可以是矩阵，可以是线性变换等，这样，就使得我们可以利用多项式讨论更为广泛的代数对象.数域上的多项式的全体构成的集合构成环，也构成线性空间.三、基本题型与方法关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题.1. 数域的判定例1证明: 数集作成一个数域. 又问：此数域是否包含?证 任取, , 则.又当时显然，且.故数集做成数集.又. 因若不然，设 , 则.这与是无理数是有理数矛盾.例2 证明:若数域包含，则必包含与.证 因是数域且包含，故必包含以及,即与. 从而包含 与.注 从证明可知还包含及.例3 证明: 在实数域与复数域之间没有别的数域.证 设是包含且比大的任一数域, 则必有，其中, .于是.从而.即与之间没有别的数域.注：由此题可知，数域绝大部分都是实数域的子域以及包含一部分实数和一部分虚数的数域.例4 设为任意给定的正有理数，证明: 1. 做成一个数域;2. 存在使.证 1.对减法封闭(即中任意两个数之差仍属于). 显然再任取. 若, 则且; 若, 则当时,即有 使. 从而, 故为有理数域.当且时得即对除法封闭,因此做成数域.2. 若.则且.反之, 若, 则,显然.2. 多项式的运算例5 设,和是实系数多项式.证明若，则必有.并请指出有不全为零复系数多项式满足上式.证 设若,则次数为偶数.但, 故且次数为奇数,矛盾. 因此必.从而.又因为,均为实系数多项式,故若,则必且的次数必大于零，矛盾. 因此.但存在不全为零的复系数多项式，，满足上式.例如，，.例6 设，.请问乘积的所有系数之和为何？分析 此题当然不能把乘积展开求出逐项系数后再求其和（这样做不是不可以，但过于繁复）.然而，若注意到任何多项式的所有系数之和就是，问题就迎刃而解.解因为,,故.即乘积的所有系数之和为.第二节 整除、互素、最大公因式一、基本内容1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设,, 则除的余式.因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素.(1)最大公因式,互素的概念.(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设是与的最大公因式,则存在使得.反之不然.(4) .(5) 二、难点解析与重要结论1.对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.2.若，则,其中是数域上任意的多项式.3.对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使. 4. 中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使.5. 设且则6.如果，且,那么.7.如果则.8.如果且，那么9. 判别条件（1）首项系数为1的多项式若是与的最大公因式是与的公因式中的次数最高者，且的首项系数为1.（2） 为形如的多项式中次数是最低者且首项系数为1.可为中任意多项式.证明若，则存在，使，若还有，且但由，知矛盾.是形如中次数最低者，我们证明，否则有，则，，即, 这与假设矛盾，故. 同理，且能被与的其他公因子整除，所以.10. 11. 最小公倍式 定义 设