1章有限元分析绪论.ppt

第一章 绪论 式(1-49）表明：ij边受线性分布面力： i点为[qsx, qsy]T，j点为0 时，其等价节点力可将总载荷的2/3分配给i点，1/3分配给j点，m点为零得出。 x y i j m qsi qs 体积力和表面力向节点的移置符合静力等效原理的前提条件是：线性位移模式。 第一章 绪论 §1.9 系统分析 1.9.1 坐标系 研究各离散单元集合成整体结构，集合整体结构的平衡和变形协调，建立整体结构平衡方程。 单元分析时采用的坐标系成为局部坐标或单元坐标（单元刚度矩阵的通用性）。而结构系统分析时，必须在统一的坐标系内进行（各力学量才能叠加），称为“结构坐标”或“整体坐标”，如图1-13所示。 第一章 绪论 单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为： 整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为： X Y X Y P ○ ○ ○ ○ ○ P 图（1-13） (a) 平面桁架(杆件单元) 悬臂深梁 (平面三角形单元) x y x y x y x y 如何从单元坐标转化为结构坐标将在第4章中讨论。 第一章 绪论 1.9.2 整体刚度矩阵 假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整体坐标系下，对于每个单元均有： 将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将[k]、{δ}、{F}体积膨胀，分别扩大为n1×n1、n1×1和n1×1的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号对应位置的元素不变，而其它元素均为零。 第一章 绪论 组装方法：建立一个体积为n1×n1的方阵，按单元序号依次把结构坐标单元刚度矩阵的元素放入该方阵中。 放入方法：（1）按单元节点编码对号入座； （2）同位置元素累加。 式中：[K]为整体刚度矩阵，{Δ}为整体节点位移列阵；{P}为整体等价节点荷载列阵。如下： （1-50） 第一章 绪论 i j m i j m 例：平面三角单元 双行双列 第一章 绪论 1.9.3 结构刚度矩阵特性 1、结构刚度矩阵元素的力学意义 把方程(1-50）写开， =1 =0 =0 =0 =0 =0 (1-51） 第一章 绪论 2、结构刚度矩阵是对称矩阵 已知单元刚度矩阵是对称矩阵（1.7节），用单元刚度矩阵组集 结构刚度矩阵的 过程又没有破坏 其对称性，结构 刚度矩阵必然也 是对称的。当然， 对称性也可以通 过虚功原理得到证明。 结构刚度矩阵中的任一元素kij是?j为单位位移（ ?j =1），其它位移为零时的Pi。 第一章 绪论 3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值 由性质(1)可知，任一主对角线上元素kii是使节点位移?i为一单位位移，其它节点位移为零时必须在第i号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移方向相同，因而是正值。 第一章 绪论 4、结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵 稀疏矩阵指：存在大量零元素。非零元素稀疏排列。 矩阵的每一列都有很多零元素。考察矩阵中第j列。 第一章 绪论 再分析图（1-14）。设节点b发生单位位移?j=1，其它位移为零时， ?j只能在与点节b有直接联系的 q 、 r节点引起节点力，不能 在其它节点引起节点 力。所以式（1-52） 中，只有和q、p、r、 b节点位移的相关元素 才不为零，其余的元素 都是零元素。 任一元素kij是?j=1（其它?=0）引起的Pi（i=1、2…） （1-52） ?j=1 t 图（1-14） p q r s c b b? 第一章 绪论 其它各列的情况也是类似的。 结构的节点总数通常都比直接环绕于任何一个节点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大一部分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。 5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵 从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，处于静力平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移。与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结构的结构刚度矩阵[K]也是奇异矩阵，即[K]的行列式为零。 第一章 绪论 1.9.4 引入支承约束的结构节点平衡方程 6、结构刚度矩阵是常量矩阵 结构刚度矩阵是常量矩阵。结构的节点力和节点位移成线性关系都是基于弹性理论的结果。 （1-53） 用平衡方程（1-53）是解不出结构的节点位移???的，因为结构刚度矩阵是奇异矩阵。因此，必须引入约束，排除任何刚体位移，使结构为几何不变体系。 第一章 绪论 方程（1-53）中的刚