同济-高等数学-第三版(9.2)第二节二重积分的计算法概要.ppt

化为先 r 后? 的累次积分 将区域分为两个区域 D1、D2 分别进行考察。 对于 D1，由于极点在区域的边界上，故可按如下 方法确定累次积分的积分限： 先确定 ? 的变化范围 令: r 2 = a 2 sin 2? = 0，解得 ? = 0 , ? = ? /2 . 求得对 ? 积分的积分限为 ? : 0 ? ? /2 . 再确定 r 的变化范围 自极点出发作射线穿投区域 D1，穿出点在曲线 r 2 = a 2 sin2? 上，求得对 r 积分的积分限为 对于区域 D 2，可类似地确定累次积分的积分限为： 于是在区域 D 上，给定二重积分可化为 化为先 ? 后 r 的累次积分 直接在极坐标系下确定累次积分限 先确定 r 的变化范围 将区域 D1 沿圆心在极点的圆弧向极轴投影，得极 轴上的区间[ 0 , a ]，则 D1 内的任一点的 r 坐标满足 　 0 ? r ? a ． 再确定 ? 的变化范围 过点 r = a 沿逆时针方向作圆心在极点的圆弧交 D 的边界于点 A，易求得点 A 的坐标为 A( ? /4 ,a ). 点 A 将 D1 的边界曲线分为两段 一段对应于 ? : 0 ? ? /4，易求得其方程为 另一段对应于 ? : ? /4 ? ? /2，求得其方程为 任取 r ?[ 0 , a ]，过该点沿逆时针方向作圆心在极 点的圆弧穿透区域 D1． 穿入点在曲线 穿出点在曲线 于是确定在区域 D1 上化二重积分为先? 后 r 的累次 积分的积分限为： 类似地可确定在区域 D2 上化二重积分为先 ? 后 r 的累次积分的积分限为： 于是在区域 D 上，给定二重积分可化为： 在 rO? 直角坐标系下确定累次积分限 在直角坐标系 rO? 中作区域 D1的图形。为将给定 二重积分化为先 ? 后 r 的累次积分，将区域 D1 向 r 轴 投影得投影区间[ 0 , a ]． 任取 r ?[ 0 , a ]，过该点作平行于 ? 轴的直线沿 ? 轴的方向穿透区域 D1． 穿入点在曲线 穿出点在曲线 于是可确定在区域 D1 上化二重积分为先 ? 后 r 的 累次积分的积分限为： 类似地可确定在区域 D2 上化二重积分为先 ? 后 r 的累次积分的积分限为： 于是在区域 D 上，给定二重积分可化为： (2) ? - 型区域的代数表示 极坐标系下的平面区域 D 一般可看成是由封闭曲 线 r = r(? )所围成，考虑由极坐标系下的穿线法确定? - 型区域 D 的代数表示形式。 设 M( r ,? )为区域 D 内任意一点，考虑确定 r、? 的变化范围。 先确定? 的变化范围: 过极点作射线沿逆时针方向扫过区域 D，设扫入点 和扫出点分别对应于射线 ? = ? ，? = ? ，则区域 D 内的 任一点 M 的 ? 坐标均满足：? ? ? ? ? ． 区域不含极点的情形 再确定 r 的变化范围 扫入点和扫出点将区域 D 的边界曲线 r = r(? )分成 两段，分别记之为：r = r1(? ), r = r2(? ). 过极点向 M 作射线穿透区域 D，设穿入点在曲线 r = r1(? )上，穿出点在曲线 r = r2(? )上，则区域 D 内 任一点 M( ? ,r )的 r 坐标均满足：r1(? )? r ? r2(? ). 于是求得区域 D 的不等式组表示式为 极点在区域 D 边界上的情形 设 M( r ,? )为区域 D 内任意一点，考虑确定 r、? 的变化范围。 先确定 r 的变化范围: 过极点向点 M 作射线穿投区域 D，易确定 r 的变化 范围，即 D 内任一点 M 的 r 坐标满足：0 ? r ? r( ? )． 再确定 ? 的变化范围: 令：r(? )= 0 ，可求得极点处区域边界曲线的切线 ? = ? ，于是可求得区域 D 内任一点 M 的 ? 值的变化范 围为 ? ? ? ? ? + ? ，或 ? - ? ? ? ? ? ． 区域 D 的不等式组表示式为 极点在区域 D 内部的情形 设 M( r ,?